Квантовая механика с вариационным принципом: пробная волновая функция не выражается базисом собственных функций

Я изучаю вариационный метод решения задач квантовой механики. Принцип заключается в том, что собственные функции минимизируют среднее значение гамильтониана в этом состоянии (при условии, что Ψ нормализуется):

Е 1 ≤ ⟨ Ψ | ЧАС | Ψ ⟩ ,

со значением равенства Ψ "=" Ψ 1 . Следующие собственные состояния находятся последовательно, отмечая, что Е н по-прежнему будет локальным минимумом и Ψ н будет ортогонален всем ранее найденным собственным состояниям.

Профессор сделал вывод для Е 1 в классе. Его аргумент был: Ψ н послужит основой для любого пробного решения Ψ . Таким образом, используя прием Фурье, мы можем найти разложение для Ψ в основе Ψ н с коэффициентами б н . Тогда ожидаемое значение энергии для испытания равно

| Е | "=" ∑ | б н | 2 Е н .

Ясно, что самый маленький Е н является Е 1 , поэтому самый маленький | Е | является Е 1 , а коэффициенты | б 1 | "=" 1 и | б н | "=" 0 для всех остальных н .

Но что произойдет, если я возьму пробную волновую функцию, которую нельзя выразить в этом базисе? Например, скажем, у меня есть квадратный колодец из 0 к л и у меня есть текстовая функция, которая нормализована, но не равна нулю в каком-то месте с помощью Икс > л . Очевидно, что это глупая пробная функция, и это невозможное решение. я не смогу найти | Е | проверить, минимизирован ли функционал. Но какая часть математики выше сломается? Где вариационный принцип говорит, например, что пробная функция не только может быть нормализована, но и должна быть равна нулю в областях, запрещенных квантовой механикой?

Ответы (1)

Вывод профессора показывает, что любое пробное решение будет иметь энергию, превышающую энергию основного состояния, соответствующую собственному состоянию с наименьшей энергией. Но тот факт, что энергия основного состояния ниже, чем у любой пробной функции, можно даже трактовать как определение. Если существует самая низкая энергия и самая низкая энергия волновой функции, конечно, все другие волновые функции будут обеспечивать верхнюю границу этой самой низкой энергии.

Цель состоит в том, чтобы опробовать множество пробных решений, чтобы приблизиться к энергии основного состояния. Каждое пробное решение дает верхнюю границу.

Попытка испытать любую тестовую волновую функцию, которая отлична от нуля, когда В "=" ∞ добавит нежелательной энергии. При использовании вариационного метода вы просто предпочитаете пробную функцию с более низкой энергией, чего всегда можно добиться, переместив эту часть пробной волновой функции в место, где В конечно.

Вывод профессора не удался, потому что вы рассматривали волновую функцию с бесконечной энергией. Вариационный принцип предотвращает ненулевые В "=" ∞ тестовые функции, потому что (как вы указали) такие функции были бы явно непродуктивными при формировании верхних границ основного энергетического состояния.

Есть два взгляда на это. Один из них заключается в том, что причина, по которой волновая функция должна исчезнуть за пределами области, заключается в том, что потенциал там бесконечен, и в этом случае ваша попытка минимизировать энергию явно не удалась, потому что она имеет бесконечную энергию. С другой стороны, можно объявить указом, что вселенная проблемы - это только область, и поэтому нет смысла иметь волновую функцию за пределами этой области. Если вам нужна дискретная точка, в которой математика не работает, вы можете сказать, что гамильтониан не определен в этой области, поэтому, когда вы переходите к оценке волновой функции, он терпит неудачу.
Квантовая механика с вариационным принципом: пробная волновая функция не выражается базисом собственных функций
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v