Почему энергия основного состояния частицы в ящике отлична от нуля?

Я понимаю, что мы хотим решить для ненулевых значений волновой функции. Я всегда думал, что это делается для того, чтобы избежать очевидного ответа на уравнение Шредингера. Но с физической точки зрения, если у нас есть частица массы м , неужели он не может иметь нулевую энергию? С математической точки зрения, не должна ли энергия основного состояния каждой системы равняться нулю? Если да, то что это значит? Ничто. Пустота как основное состояние?

Но разве не существует основного состояния с нулевой энергией для частицы в ящике, если взять н "=" 0 в Е н "=" н 2 ℏ 2 π 2 2 м а 2 ?
Вы имели в виду квантовый гармонический осциллятор?
@probably_someone именно об этом и был мой вопрос. В учебнике, который я читал, говорится, что основное состояние находится при n=1. Я не понимаю, является ли отказ от нуля произвольным или теоретически/физически значимым.
@probably_someone n=0 не является допустимым выбором для квантового числа в этом случае, например, если вы поместите это в свою волновую функцию для частицы в коробке, вы получите ерунду
@R.Rankin Зависит от того, что вы подразумеваете под «чепухой». Вы получаете волновую функцию, которая везде тождественно равна нулю, а это значит, что в коробке ничего нет.
@probably_someone достаточно справедлив, но вряд ли это уровень энергии для частицы. Я думаю, что вопрос ОП лучше понять в контексте КТП, вторичного квантования и рассмотрения всех частиц как операторов вакуумного состояния (которое само по себе имеет нулевое математическое ожидание для энергии), а не нерелятивистского жаргона.
Другой способ сформулировать проблему состоит в том, что если мы допустим основное состояние с н "=" 0 , его нельзя было бы нормализовать, так как волновая функция тождественно равна нулю. Если бы мы позволили н "=" 0 , и якобы подготовить систему в этом основном (стационарном) состоянии мы бы имели ∫ ψ ψ * "=" 0 , вместо ∫ ψ ψ * "=" 1 как того требует квантовое состояние.

Ответы (3)

Что касается большинства учебников по (нерелятивистской) квантовой механике, мы не рассматриваем решение для н "=" 0 потому что это дает нам тривиальное решение (и мы интерпретируем его как означающее, что внутри ящика/колодца нет частиц).

Однако если бы существовало основное состояние с нулевой энергией для потенциала прямоугольной ямы, это означало бы, что (поскольку энергия частицы равна нулю) она будет покоиться внутри квадратной ямы, а это явно нарушает принцип неопределенности Гейзенберга!

Ограничивая частицу очень маленькой областью пространства, она приобретает небольшой, но конечный импульс. Итак, если частица ограничена в движении в области шириной Δ Икс ∼ а (т. е. по всей длине скважины), мы можем вычислить минимальную неопределенность импульса (используя принцип неопределенности), и она оказывается равной Δ п ∼ ℏ / а . А это, в свою очередь, дает нам минимальную кинетическую энергию порядка ℏ 2 / ( 2 м а 2 ) . Это (качественно) согласуется с точным значением энергии основного состояния.

Таким образом, физически существование нулевой энергии является необходимым свойством квантово-механической системы. Это указывает на то, что частица должна демонстрировать «минимальное движение» из-за локализации. Классически минимально возможной энергии системы соответствует минимальное значение потенциальной энергии (при нулевой кинетической энергии). Но в квантовой механике наинизшее энергетическое состояние соответствует минимальному значению суммы как потенциальной, так и кинетической энергии, и это приводит к конечному основному состоянию или нулевой энергии.

Я понимаю ход ваших рассуждений. Разве это не должно быть математически учтено в самой формулировке уравнения Шредингера? Можно ли добавить дополнительное утверждение, в котором говорится, что давайте избегать какого-либо математического решения, чтобы оно соответствовало принципу неопределенности?
Что ж, принцип неопределенности Гейзенберга следует из постулатов квантовой механики, а уравнение Шредингера, или эволюция системы во времени, само по себе является еще одним постулатом. Так что, насколько я понимаю, здесь все согласуется с постулатами квантовой механики, как и должно быть. Мы не добавляем «дополнительные утверждения» произвольно, если вы об этом спрашиваете.

Нуль энергии совершенно произволен, как ноль времени или пространства.

В самом деле, предположим, что энергия основного состояния ЧАС является а , затем ЧАС − а я , где я является тождественным оператором, имеет нулевую энергию основного состояния и те же собственные векторы ЧАС . Кроме того, он генерирует ту же временную эволюцию (кроме нефизического фазового фактора). Поэтому с физической точки зрения он неотличим от исходного.

То, что вы предлагаете, по существу сводится к возмущению гамильтониана, верно? В принципе возмущения порядка больше единицы будут исчезать при постоянном возмущении вообще. Мы также можем вычислить волновую функцию. Но всегда ли это так? Мы столкнемся с проблемами, если (невозмущенный) энергетический спектр вырожден (например, при решении трехмерного ящика).
Добавление константы — очень тривиальное возмущение. И это не делает ничего, кроме сдвига спектра на фиксированную числовую величину.
Мы можем сдвинуть гамильтониан на любую константу, но проблема здесь в том, что вы выбрали бы ℏ -зависимая константа, вы бы не квантовали классический гамильтониан, который написан в предположении ℏ "=" 0 . Таким образом, на самом деле существует физическая интерпретация энергии нулевой точки, которую игнорирует этот аргумент о простом смещении потенциала. noir1993 предоставил интерпретацию коробки; для гармонического осциллятора это [ а , а † ] ∝ ℏ потому что [ Икс , п ] ∝ ℏ .
Но всякий раз, когда мы имеем дело с возмущениями, константа связи (здесь а ) должен быть небольшим (иначе мы не можем разложить его в степенной ряд). Для электрона основное состояние примерно 30 е В которым можно пренебречь, и я сомневаюсь, что невырожденная теория возмущений применима к такому (квантово-механическому) огромному возмущению.
@ noir1993 Если мы не можем аналитически вывести спектр нового гамильтониана, нам нужны небольшие возмущения, чтобы использовать ряды Тейлора, но в этом случае получить спектр тривиально.
@JG То, что гамильтониан является квантованием классического символа, является вопросом удобства, а не физическим требованием. Физическое требование состоит в том, чтобы в пределе вы получили правильное классическое поведение. И это все еще верно, если гамильтониан сдвинут на ℏ -зависимая энергия нулевой точки. Кроме того, насколько мне известно, экспериментально наблюдаются только энергетические различия (например, при измерении частоты испускаемого или поглощаемого излучения); поэтому энергия основного состояния неизмерима.
Наконец, также математически легко увидеть, что сдвиг его к любому желаемому (конечному) значению ничего существенного не меняет. В этом контексте физически важно то, что гамильтониан ограничен снизу (т. е. система не может бесконечно излучать энергию).
Этот ответ несколько не соответствует действительности: хотя вы можете сместить общую энергию на произвольную величину, вы не можете избежать ненулевой средней кинетической энергии в основном состоянии.

я делюсь своим мнением   :       Поскольку мы знаем, что квантово-механические дискретные энергетические состояния появляются только тогда, когда мы рассматриваем проблему связанного состояния. Обычно говорят, что квантово-механически энергия основного состояния никогда не может быть равна нулю. Теперь представьте, что у вас есть проблема связанного состояния. Это означает, что частица ограничена в некоторой области. Тогда, если мы получим состояние с нулевой энергией (означает, что энергия равна нулю: как н "=" 0   я н   Е н "=" н 2 π 2 ℏ 2 2 м а 2   частица в ящике), то частица не будет иметь энергии в этом состоянии. Означает, что он будет находиться в каком-то определенном положении. Затем вы можете точно предсказать его положение, измерив его состояние покоя, а также определить импульс = 0 как в покое. Но принцип неопределенности Гейзенберга ясно говорит нам, что   Δ Икс . Δ п ≥ ℏ 2   . Но тогда это произведение будет равно нулю. Таким образом, нулевая энергия нарушает HUP. Так и устранено.

Ваш ответ может быть улучшен с помощью дополнительной вспомогательной информации. Пожалуйста , отредактируйте , чтобы добавить дополнительные сведения, такие как цитаты или документация, чтобы другие могли подтвердить правильность вашего ответа. Дополнительную информацию о том, как писать хорошие ответы, можно найти в справочном центре .
The н "=" 0 случай приводит к волновой функции, которая везде равна нулю, поэтому он не может определить нормализованный закон вероятности. Поэтому в любом случае это физически не возможное состояние частицы. Кроме того, когда что-то является результатом логических рассуждений, это не мнение. ;)
Почему энергия основного состояния частицы в ящике отлична от нуля?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v