Почему энергетические уровни простого гармонического осциллятора расположены на одинаковом расстоянии друг от друга?

Да. Есть простое объяснение.

Классический гармонический осциллятор имеет четко определенную частоту$\omega$, не зависящее от начальных условий. Это может произойти только в том случае, если квантовая система имеет точно равноотстоящие энергии с зазором$\hbar \omega$.

Причина этого в том, что движение в квантовой системе может происходить только в том случае, если занято более одного энергетического уровня. Затем частота движения определяется разностью энергий различных занятых энергетических уровней. Таким образом, если каждая классическая траектория имеет одинаковую частоту$\omega$, то любая комбинация квантовых состояний также должна иметь разность частот, кратную$\hbar\omega$.

Аргумент можно сделать еще более точным, если подумать о существовании когерентных состояний и полуклассических суперпозиций в квантовой системе, но основной аргумент такой же, как и выше.

Обратный аргумент также можно использовать для вывода о том, что атом водорода не будет иметь равноотстоящих друг от друга энергетических уровней, поскольку частота движения в колумбовском потенциале зависит от начальных условий.

С тем же успехом я мог бы сжать аккуратный аргумент в фазовом пространстве из педагогической статьи Ройера 1996 года , поскольку он настолько краток и стандартен для поведения QHO в фазовом пространстве, а в других ответах он не использовался.

Существенным моментом является то, что как в классической, так и в квантовой механике эволюция осциллятора во времени представляет собой жесткое вращение в фазовом пространстве , как это было обнаружено Грёневолдом в 1946 году.

Другими словами, как и в классической эволюции, любая квантовая конфигурация равномерно вращается в фазовом пространстве под действием гамильтониана. Поглощая все константы переменными для преобразования эллиптических траекторий в окружности, гамильтониан (классический и квантовый) представляет как

$$H=\tfrac{1}{2} (p^2+x^2).$$ Следовательно, примечательно, что действие гамильтониана на любую конфигурацию фазового пространства, классическую плотность Лиувилля или функцию Вигнера сводится к $$\{\{ H,f\}\}= \{ H,f\}= (x\partial_p- p\partial_x)~ f(x,p),$$ легко распознается как жесткое вращение в фазовом пространстве , так как, исключительно здесь, квантовые скобки Мойала $$\{\{H,f\}\}=\left (H\left (x+{i\hbar\over 2} \overrightarrow{\partial }_{p} ~,~ p-{i\hbar\over 2} \overrightarrow{\partial }_{x}\right ) ~ f(x,p) -H\left (x-{i\hbar\over 2} \overrightarrow{\partial }_{p} ~,~ p+{i\hbar\over 2} \overrightarrow{\partial }_{x}\right ) ~ f(x,p)\right )/i\hbar$$ свернуть к классическим скобкам Пуассона (!).

Жесткое вращение вокруг окружности, конечно, имеет целочисленные собственные значения, так как его угловые собственные функции являются однозначными экспонентами. Это особенность как оператора Лиувилля, так и гамильтониана КМ.

Моды Фурье классического пропагатора также включают интегрально разнесенные уровни энергии, но в классической механике такое разделение переменных не является необходимым или полезным. Стандартные обзоры квантовой механики в фазовом пространстве дополнительно решают радиальную проблему.$\star$стационарное уравнение с общим значением (уравнение Лагерра, а не уравнение Эрмита!), чтобы подтвердить, что собственные значения обязательно разнесены на целочисленные интервалы, как показано здесь.

Обратите внимание, что интегральный спектр собственных значений не является простым следствием симметрии фазового пространства U(1): это свойство гамильтониана, являющегося самим генератором вращений! Гамильтониан, такой как$(p^2+x^2)^a_\star$соответствующий a -й степени осциллятора гильбертова пространства, гамильтониан все еще был бы симметричным относительно поворотов xp , но имел бы спектр$(n+1/2)^a$, конечно.

Этот аргумент, к сожалению, не доказывает уникальность этого гамильтониана для этого спектра, но разумным предположением, учитывая такой спектр, является существование отображения, доказывающего эквивалентность удачного гамильтониана осциллятору выше.

Это, вероятно, не физическое объяснение, но стоит проследить особенность Гармонического осциллятора, которая приводит к равноудаленным уровням энергии в квантовой механике.

$\bullet$ Гамильтониан вида$H=\hbar(a^\dagger a+1/2)$приводит к равно космическим энергетическим уровням .

$\bullet$Гамильтониан простого гармонического осциллятора определяется выражением

$$H=\frac{1}{2}(p^2+x^2)$$ в единицах, где $m=\omega=1$. И кинетическая, и потенциальная энергии квадратичны. Всякий раз, когда потенциал является квадратичным, гамильтониан можно свести к $$H=\hbar(a^\dagger a+1/2)$$ что невозможно, если потенциал $V(x)$не является квадратичным.