Собственное значение энергии волновой функции

Я читал в Интернете введение в квантовую механику, и при построении уравнения Шредингера для свободной частицы уравнение я ℏ г Ψ г т "=" ℏ ю Ψ получается.

Затем поясняется, что если я ℏ г г т рассматривается как оператор, то уравнение означает, «что когда он действует на Ψ , результат, который мы получаем, является собственным значением энергии волны».

Мне ясно, что Ψ является собственной функцией я ℏ г г т , с собственным значением ℏ ю , но я не понимаю, почему они так говорят ℏ ю Ψ является «собственным значением энергии волны».

Насколько я понимаю, ℏ ю дает энергию фотона с угловой частотой ю , и поэтому мне непонятно, почему энергия фотона, умноженная на Ψ имело бы особое значение.

Кроме того, я не думаю, что понимаю, что подразумевается под утверждением «собственное значение энергии волны».

Если бы кто-нибудь мог помочь объяснить эти концепции (желательно, не предполагая слишком большого знания QM), это было бы здорово.

Ответы (2)

Е "=" ℏ ю это энергия любой частицы, а не только фотона.

Термин собственное значение происходит из линейной алгебры. Учитывая матрицу М , собственный вектор в из М с собственным значением λ является решением уравнения

М в "=" λ в

В квантовой механике волновую функцию следует рассматривать как разновидность вектора. Наблюдаемые представлены (эрмитовыми) операторами (которые с моральной точки зрения аналогичны (эрмитовым) матрицам), а собственные значения этих операторов представляют собой возможные значения, которые может принимать наблюдаемая.

Итак, установка М "=" я ℏ ∂ ∂ т , в "=" Ψ , и λ "=" ℏ ю , вы видите, что уравнение, которое вы написали, является просто уравнением собственных значений для «энергетического оператора» я ℏ ∂ ∂ т . Собственное значение ℏ ю . Это называется собственным значением энергии, потому что наблюдаемая величина — это энергия.

Ваша физическая система будет описываться волновой функцией (я предпочитаю называть ее «состоянием»). Ψ . Если Ψ удовлетворяет этому уравнению собственных значений, то вы измерите систему, чтобы иметь энергию Е со 100% вероятностью. В общем Ψ не будет собственным вектором оператора энергии. Однако его можно записать в виде суммы собственных векторов энергии из-за магических свойств эрмитовых операторов (добавлено примечание — я имею в виду специальную теорему, https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ). В этом случае, если вы измеряете энергию, вы будете измерять ее как одно из собственных значений собственных векторов, составляющих Ψ , с вероятностью, заданной квадратом амплитуды этого собственного вектора.

Если примечания, которым вы следуете, не объяснили это ясно, прежде чем погрузиться в разговор о собственных значениях энергии, я настоятельно рекомендую поискать альтернативные ссылки для чтения. Существует миллион ссылок, которые объясняют квантовую механику на всех уровнях и разными способами. Этот момент, о котором вы спрашиваете, является центральной концепцией всей квантовой механики, поэтому определенно стоит прочитать много источников об этом, чтобы найти тот, который имеет объяснение, которое вы найдете наиболее ясным.

Большое спасибо. Я думаю, что большая часть моего замешательства возникла из-за того, что я не понимал, что ℏ ю была энергия любой частицы (а не только фотонов), но теперь, когда это прояснилось, это имеет смысл.
какое именно магическое свойство вы имеете в виду?
Спектральная теорема. Добавил ссылку на Википедию.

результат, который мы получаем, является собственным значением энергии волны.

Неправильно думать о собственном значении энергии волновой функции.

Скорее волновая функция либо является собственной функцией энергии , либо нет.

Если это собственная функция энергии, то есть собственное значение энергии , иначе его нет.

Другими словами, ваше первое уравнение выполняется, только если Ψ является собственной функцией энергии.

Общая волновая функция не является собственной функцией энергии, но ее всегда можно разложить на взвешенную сумму собственных функций энергии.

Хорошо. Итак, каково значение энергетического члена в этом уравнении? То есть, даже если собственное значение представляет энергию, это просто энергия фотона, верно? Так как же важно отметить, что когда я ℏ г г т действует на Ψ собственное значение уравнения для собственных значений равно энергии фотона?
@nsanger Дело в том, что уравнение Шредингера я ℏ г ψ / г т "=" ЧАС ^ ψ является совершенно общим, даже если ψ не является собственным состоянием и даже когда вы описываете что-то более сложное, чем один фотон. В сущности, это и есть определение энергии. Энергия является оператором, который генерирует временную эволюцию. Они просто дают вам аргумент правдоподобия с примером, где вы уже знаете ответ. Собственные состояния важны, потому что их эволюция во времени особенно проста, и вы можете использовать их для построения более общих состояний.
Собственное значение энергии волновой функции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v