Квантовая механика в электрическом поле

Рассмотрим заряженную частицу с зарядом д застрял в ящике длиной л с конечным постоянным потенциалом В 0 на обоих концах. Постоянное (статическое) электрическое поле величиной Ф применяется из − ∞ к + ∞ .

Я разделил весь домен на три области

  • от − ∞ к 0 как регион я
  • от 0 к л как регион II
  • от л к + ∞ как регион III

Уравнения:

  • Уравнение Шредингера для области II имеет вид
    − ℏ 2 2 м д 2 ψ д Икс 2 + д Ф Икс "=" Е ψ .
  • Уравнение Шредингера для областей I и III имеет вид
    − ℏ 2 2 м д 2 ψ д Икс 2 + д Ф Икс + В 0 "=" Е ψ .

Решения:

  • Регион I

    ψ ( Икс ) "=" с 4 Ай ⁡ [ α ( В 0 + Ф д Икс − Е н ) ] + с 5 би ⁡ [ α ( В 0 + Ф д Икс − Е н ) ]

  • Регион II

    ψ ( Икс ) "=" с 1 Ай ⁡ [ α ( Ф д Икс − Е н ) ] + с 2 би ⁡ [ α ( Ф д Икс − Е н ) ]

  • Регион III

    ψ ( Икс ) "=" с 3 Ай ⁡ [ α ( В 0 + Ф д Икс − Е н ) ]
    ( би часть исключена, потому что она взрывается на + ∞ .)

где с 1 , с 2 , с 3 , с 4 , с 5 константы, α "=" ( 2 1 / 3 м / ℏ 2 ) ( Ф м д / ℏ 2 ) 2 / 3 , Ай и би — функции Эйри первого и второго рода соответственно, и Е н являются собственными значениями энергии.

Применение граничных условий дает следующие четыре уравнения:

с 4 Ай ⁡ [ α ( В 0 − Е н ) ] + с 5 би ⁡ [ α ( В 0 − Е н ) ] "=" с 1 Ай ⁡ [ α ( − Е н ) ] + с 2 би ⁡ [ α ( − Е н ) ] с 4 Ай ′ ⁡ [ α ( В 0 − Е н ) ] + с 5 би ′ ⁡ [ α ( В 0 − Е н ) ] "=" с 1 Ай ′ ⁡ [ α ( − Е н ) ] + с 2 би ′ ⁡ [ α ( − Е н ) ] с 1 Ай ⁡ [ α ( Ф д л − Е н ) ] + с 2 би ⁡ [ α ( Ф д л − Е н ) ] "=" с 3 Ай ⁡ [ α ( В 0 + Ф д л − Е н ) ] с 1 Ай ′ ⁡ [ α ( Ф д л − Е н ) ] + с 2 би ′ ⁡ [ α ( Ф д л − Е н ) ] "=" с 3 Ай ′ ⁡ [ α ( В 0 + Ф д л − Е н ) ]

Как рассчитать связанные состояния Е н из этих уравнений? Также меня увязает в том, что на обоих концах коробки ψ ведет себя иначе, чем в тривиальных задачах? Кроме того, я могу использовать вычислительное программное обеспечение, такое как MATLAB, поэтому, если кто-то может помочь мне с вычислительной техникой, чтобы найти Е н , это прекрасно.

Я исправил первый символ бесконечности и символ hbar. Пожалуйста, посмотрите, как я это сделал, и исправьте остальные. Поиском в Google несложно узнать, как вводить символы в TeX.
Из уравнений я понял, что вы рассматриваете одномерную задачу. Мне это не кажется реалистичным.
@Urgje Мой мотив - исследовать эффект Старка в квантовых точках. Хотя это было исследовано, но есть условие - условие BDD, которое объясняет неоднородность массы через барьеры (которое здесь я не включил в уравнения, чтобы упростить их, поскольку я смотрю, КАК решать вопросы), над которым не работали. в исследовательской сфере. Поэтому я упростил модель до одномерной задачи и стремлюсь увидеть, как BDD влияет на результаты. Так что да, проблема нереалистична, но полезна для изучения. А так как я студент бакалавриата, это решаемо (к сожалению, без консультанта).
Я понимаю. Но имейте в виду, что спектральные свойства могут быть совершенно разными. А что такое БДД? Фраза оказалась негуглимой.
BDD = состояние Бена Дэниела Дьюка
Кросспостировано на math.stackexchange.com/q/991791/11127
Обратите внимание, что члены в уравнении Шредингера, возникающие из-за электрического поля, должны быть ( д Ф Икс + В 0 ) ψ , нет д Ф Икс + В 0 . (Другими словами, В ψ , не просто В .) Однако я считаю, что ваши пробные решения верны.

Ответы (3)

Во-первых, поскольку потенциал слева не ограничен снизу, частица имеет непрерывный спектр. Это означает, что вам просто нужно вычислить коэффициенты с я , принимая Е (реальный, никогда не сложный!) в качестве входного параметра.

Один из этих коэффициентов, с 3 , на самом деле является произвольным, поскольку влияет только на нормализацию, а не на гладкость волновой функции. Таким образом, для вычисления коэффициентов связи необходимо найти с 1 , с 2 , с 4 , с 5 .

И, наконец, ваше уравнение представляет собой простую систему 4 алгебраические уравнения с 4 неизвестные. Если я возьму с 3 "=" 1 и использовать произвольные буквы для обозначения всех этих функций Эйри и их производных, я получаю

{ с 4 А + с 5 Б "=" с 1 С + с 2 Д , с 4 г + с 5 ЧАС "=" с 1 я + с 2 Дж , с 1 К + с 2 л "=" М , с 1 Н + с 2 О "=" п .

Решите это для с я и вы решили почти всю свою проблему. Теперь, если вам нужны нормализованные волновые функции, вы должны использовать некоторую схему нормализации неограниченных состояний, например, так называемую "нормировку по дельта Дирака", обсуждавшуюся, например, в [1].

Использованная литература:

  1. Л. Д. Ландау, Э. М. Лифшиц, Квантовая механика. нерелятивистская теория , § 5 .

Это трансцендентная система уравнений, где Е н неизвестное комплексное число(я). Ее следует решить численно. Если ваш потенциальный колодец достаточно глубок, вы можете найти реальную Е н в бесконечной яме и использовать их в качестве начальных приближений для численных итераций в реальном случае.

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .
@DavidZ жаль, что MathJax там не работает...
@Руслан, используй это
Почему за это проголосовали? Это точно. Потенциал неограничен с одной стороны, поэтому связанных состояний (соответствующих реальным энергиям) нет. Однако если потенциал В 0 достаточно глубоко, могут существовать энергии Е н − я Г н / 2 , пусть и сложных, но описывающих квазистационарные «состояния», медленно «испаряющиеся» изнутри скважины. Г будет соответствовать средней продолжительности жизни т такого состояния, как т "=" ℏ / Г
@xaxa, насколько я знаю об эрмитовых операторах, комплексные энергии не могут быть собственными значениями гамильтониана (если только он не эрмитов). Вы имеете в виду, что эти энергии существуют в каком-то особом смысле, не являющемся собственным решением? Это я проголосовал за этот ответ, возможно, ошибочно из-за моего невежества. Но я до сих пор не совсем понимаю, почему это было бы правильно.
@Ruslan Действительно, собственные значения эрмитова оператора реальны. Однако рассматриваемый потенциал относится к − ∞ поэтому связанных состояний нет, поэтому исходная задача ОП неразрешима. Самое близкое, что вы можете сделать, это найти так называемые квазисвязанные состояния. Физически они соответствуют частице, «запертой» внутри потенциальной ямы на значительное время, когда деструктивная интерференция не дает ей вырваться. Итак, существуют специфические, комплекснозначные «энергии». Е н − я Г н / 2 , где действительная часть соответствует энергии этого квазисвязанного состояния и Г обратно пропорциональна продолжительности жизни.
@xaxa, но как определяются эти «состояния»? Ясно, что они не могут быть решениями уравнения Шредингера, удовлетворяющими граничным условиям, иначе они были бы собственными состояниями по определению. Но тогда какие уравнения они решают?
@Ruslan они определяются через «радиационное» асимптотическое условие - на неограниченной стороне потенциала должна быть только исходящая волна. Например, если потенциал U ( Икс ) → − ∞ как Икс → − ∞ тогда условие ψ ( Икс ) ∼ опыт ⁡ ( − я к Икс ) (без опыт ⁡ ( я к Икс ) часть!).
@xaxa, но ваше условие не может быть асимптотическим решением уравнения Шредингера: волновое число должно неограниченно расти по мере того, как функция переходит в Икс → − ∞ из-за неограниченности потенциала (см. функцию Эйри).
@ Руслан, ты прав, я должен был быть более наблюдательным ... На самом деле, я не понимаю, как заставить это работать в таком бесконечном потенциале, поскольку он не поддерживает решения, подобные «свободным частицам». Я предполагаю, что в этом случае функции Эйри играют роль свободных частиц, поэтому асимптотическое условие при Икс → − ∞ должно быть ψ ( Икс ) ∼ опыт ⁡ ( − я д Икс 3 / 2 ) / Икс 1 / 4 . Но это, возможно, неверно и требует более детального изучения, так как вечно затухающий хвост потенциала может неочевидным образом повлиять на результат.
ОП может добавить еще одно упрощение/аппроксимацию, ограничив свою модель квантовой точки бесконечными стенками за пределами интересующей его области.

оба конца коробки ψ ведут себя иначе, чем в тривиальных задачах, это верно, потому что потенциал на одном конце коробки не совпадает с потенциалом на другом конце, потому что существуют постоянные электрические поля от -бесконечности до + бесконечности , и электрические поля текут от более высокого потенциала к более низкому, так что это нормально.

Квантовая механика в электрическом поле
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v