Лагранжев инвариант Янга-Миллса при БРСТ

Question

ППР

В уравнении 16.47 в Peskin & Schroeder утверждается, что

\begin{matrix} (16.47) & - \frac{1}{2} г^{2} ф^{а б с} ф^{с г е} (А_{мю}^{б} с^{г} с^{е} + А_{мю}^{г} с^{е} с^{б} + А_{мю}^{е} с^{б} с^{г}) "=" 0 \end{matrix}

$-\frac{1}{2}g^2f^{abc}f^{cde}\left(A_{\mu}\,^{b}c^{d}c^{e}+A_{\mu}\,^{d}c^{e}c^{b}+A_{\mu}\,^{e}c^{b}c^{d}\right) ~=~ 0 \tag{16.47}$

используя тождество Якоби

\begin{matrix} (15.70) & ф^{а г е} ф^{б с г} + ф^{б г е} ф^{с а г} + ф^{с г е} ф^{а б г} "=" 0, \end{matrix}

$f^{ade}f^{bcd}+f^{bde}f^{cad}+f^{cde}f^{abd}~=~0, \tag{15.70}$

где $A$ калибровочное поле и $c$ является призрачным полем Грассмана.

Я пытался доказать это утверждение и не смог.

Это то, что я пробовал:

1) Пишите $f^{abc}f^{cde}=-f^{dbc}f^{cea}-f^{ebc}f^{cad}$ используя заданное тождество Якоби.

2) Перемаркировав некоторые индексы и используя антикоммутацию призрачных полей, я могу переписать выражение как

+ г^{2} ф^{г б с} ф^{с е а} (А_{мю}^{б} с^{г} с^{е} + А_{мю}^{г} с^{е} с^{б} + А_{мю}^{е} с^{б} с^{г})

$+g^2f^{dbc}f^{cea}\left(A_{\mu}\,^{b}c^{d}c^{e}+A_{\mu}\,^{d}c^{e}c^{b}+A_{\mu}\,^{e}c^{b}c^{d}\right)$

Теперь я застрял.

Qмеханик · Answer 1

Подсказки:

Левая сторона
$- \frac{1}{2} г^{2} ф^{а б с} ф^{с г е} (А_{мю}^{б} с^{г} с^{е} + с у с л (б, г, е))$ $-\frac{1}{2}g^2f^{abc}f^{cde}\left(A_{\mu}^{b}c^{d}c^{e}+{\rm cycl}(b,d,e)\right)$ экв. (16.47) можно переобозначить как $- \frac{1}{2} г^{2} (ф^{а б с} ф^{с г е} + с у с л (б, г, е)) А_{мю}^{б} с^{г} с^{е} .$ $-\frac{1}{2}g^2\left( f^{abc}f^{cde}+{\rm cycl}(b,d,e)\right)A_{\mu}^{b}c^{d}c^{e}.$
P&S предполагают, что структурные константы $f^{abc}$ полностью антисимметричны, ср. текст ниже экв. (15,79).