Лагранжиан Фаддеева-Попова

Это неабелевское продолжение этого вопроса КЭД.

Лагранжиан для неабелевой калибровочной теории с калибровочной группой г , а с учетом фермионных и призрачных полей определяется выражением

л "=" ψ ¯ ( я γ мю Д мю − м ) ψ + ∑ к "=" 1 тусклый ⁡ ( г ) [ − 1 4 Ф мю ν к Ф мю ν к + 1 2 ξ ( ∂ мю А мю к ) 2 + ∑ я "=" 1 тусклый ⁡ ( г ) с ¯ к ( − ∂ мю Д мю к я ) с я ] .
Как выглядит третий член (тот, который содержит ξ ) входите в картину? Первый член — это стандартный фермионный лагранжиан, взаимодействующий с калибровочным полем, второй член — стандартный член для калибровочных бозонов, а четвертый возникает из-за введения духовых полей. . . а как же третий?

Ответы (3)

Я думаю, что почти каждый учебник, который включает в себя лагранжиан Фаддеева-Попова, также объясняет это, но вы также можете найти объяснения в Интернете, например, объяснение самого Фаддеева в Scholarpedia:

http://www.scholarpedia.org/article/Faddeev-Popov_ghosts

Призраки FP необходимы для восстановления унитарности на однопетлевом уровне и являются ключевыми новыми игроками «современного ковариантного (BRST) квантования» теорий с калибровочными симметриями. Их существование легче всего объяснить в подходе Фейнмана к интегралам по путям к калибровочным теориям. В конце концов, нам нужно «калибровочно зафиксировать» калибровочную симметрию, т. е. выбрать конкретного представителя физически эквивалентных конфигураций поля, чтобы избежать (бесконечно кратного) многократного счета. Это означает, что мы эффективно вставляем дельта-функционал в интеграл по путям.

Однако, дельта ( к Икс ) это не то же самое, что дельта ( Икс ) : это | к | раз меньше. Точно так же для многомерной дельта-функции или дельта-функционала отношение задается якобианом (определителем матрицы производных). Единственным законным дельта-функционалом будет тот, который налагает конкретное (тривиальное) калибровочное преобразование. Тем не менее, условия фиксирования калибра требуют других вариантов выбора, таких как А 3 "=" 0 и необходимо вставить соответствующий якобиан, чтобы преобразовать этот дельта-функционал в правильный. Якобиан - это определитель, который может быть выражен как интеграл по путям по новым фермионным полям.

Можно также мотивировать потребность в призраках FP, обсуждая BRST-квантование, основанное на Вопрос , нильпотентный БРСТ-заряд, подчиняющийся Вопрос 2 "=" 0 , полезный инструмент для описания физических состояний во всех теориях с калибровочными симметриями. Физические состояния являются когомологиями Вопрос . Этот шаблон ответа автоматически исключает как состояния, нарушающие ограничение Гаусса (и его обобщения), так и состояния, которые являются «чистой калибровкой», и призраки ФП необходимы для определения такого Вопрос .

Термин ( ∂ ⋅ А ) 2 / 2 ξ является особым термином фиксации калибровки, который устраняет избыточность калибровки и накладывает условие фиксации калибровки, в этом случае он «мягко» накладывает условие Лоренца (не Лоренца!). Можно представить, что помимо уравнений движения на калибровочное поле накладывается еще и дополнительное ограничение — условие Лоренца. Но помимо этого члена, который можно было бы заменить другим, если бы мы решили использовать другое условие фиксирования калибровки, по-прежнему необходимо включать члены ФП, по крайней мере, в неабелевых калибровочных теориях.

В статье в Scholarpedia я рассматриваю часть, начинающуюся со слов «Т Хофт представил еще одно усовершенствование...». Похоже, что интересующий меня термин был вставлен вручную, допуская более общее условие фиксации манометра. При этом более общем условии соответствующая дельта-функция вносит ненулевой член в лагранжиан. Если я правильно понимаю, то это все хорошо, но зачем нужно более общее условие? Является ∂ мю А мю к не достаточно? Не усложняет ли это еще больше, вводя дополнительный термин?
Дорогой Джонатан, сложный последний член FP должен быть там помимо члена градиента, иначе вы нарушили бы калибровочную инвариантность, т.е. разделение продольных поляризаций на однопетлевом уровне. Только для электромагнетизма, т.е. абелевых калибровочных полей, можно организовать вещи так, что термин ФП практически не нужен. Но для неабелевых теорий Янга-Миллса такого пути нет. ∂ мю А мю может быть лоренц-инвариантным, но не калибровочно-инвариантным, и даже если вы замените его на ∇ мю А мю , это не. Просто FPterm всегда необходим для получения правильной нормализации дельты.

Третий член - это срок фиксации манометра, вы можете думать о 1 / 2 ξ как множитель Лагранжа. МНВ для ξ осуществить фиксацию манометра. Это интуитивная картина, квантование калибровочных систем можно рассматривать на различных уровнях сложности, к счастью, теория Янга-Миллса является относительно простым случаем.

Касательный вопрос: могу ли я также реализовать ограничение граничного условия как термин «фиксация датчика»?
Думая о параметре фиксации датчика ξ как множитель Лагранжа, в лучшем случае следует воспринимать только как мнемонику. Поскольку он не фиксируется динамикой и может быть выбран свободно, на самом деле это не множитель Лагранжа.

Третий член является термином фиксации калибровки. На данный момент в статье Википедии о фиксации манометра есть хороший раздел, здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing#R.CE.BE_gauges Они выражают так называемые р ξ манометры - с ξ "=" 1 называется калибровкой Фейнмана–т Хофта, а лим ξ → 0 это калибровка Ландау, предел, принятый после завершения вычислений.

Лагранжиан Фаддеева-Попова
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v