Что лежит в основе калибровочной теории?

PhotonicBoom уже предоставил хороший обзор основной идеи, лежащей в основе калибровочных теорий, позвольте мне немного углубить абстракцию:

Калибровочная теория — это теория, обладающая локальной калибровочной симметрией , индуцированной калибровочной группой $G$, которая должна быть группой Ли . Теперь, что мы подразумеваем под этим?

Позволять$\Sigma$быть нашим пространством-временем (произвольной размерности и сигнатуры). Предположим, мы знаем, что должно быть какое-то поле$A_\mu : \Sigma \rightarrow \mathfrak{g}$на$\Sigma$($\mathfrak{g}$является алгеброй Ли$G$, для этого можно вспомнить (векторный) потенциал классической электродинамики (далее ЭД). Но всякий раз, когда мы смотрим, мы можем смотреть на это поле только локально , поэтому у нас есть несколько открытых множеств.$U_\alpha$с$\alpha$некоторое индексное покрытие$\Sigma$, и на каждом из них$U_\alpha$, у нас есть немного$(A_\alpha)_\mu$(например, как решение уравнений Максвелла). Мы получаем глобальное определение для поля, если нам требуется

$$A_\alpha = g_{\alpha\beta}A_\beta g_{\alpha\beta}^{-1} + \mathrm{i}g_{\alpha\beta}\mathrm{d}g_{\alpha\beta}^{-1} \; \text{with} \; g_{\alpha\beta} : U_\alpha \cap U_\beta \rightarrow G \text{ a smooth function}$$

для всех пар наборов$U_\alpha,U_\beta$которые имеют ненулевое пересечение. Это может выглядеть очень странно, но рассмотрим случай ЭД, где$G = \mathrm{U}(1)$: Там, для$f : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$, мы можем написать такие функции, как$g(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}f(x)}$. Все коммутирует, и приведенная выше формула сводится к

$$A_\alpha = A_\beta - \mathrm{d}f$$

что и есть калибровочная свобода, которую мы имеем в классической ЭД! Итак, в этом смысле уродливо выглядящее уравнение выше является обобщением знакомого случая на общие неабелевы группы симметрии$G$. На самом деле приведенные выше данные (множества$U_\alpha$и функции перехода$g_{\alpha\beta}$) определить, что называется$G$-основной комплект . Теперь на этом$G$-основной пучок, назовем его$P$, можно определить понятие калибровочного преобразования$g : P \rightarrow G$, и преобразование$A$при этом снова будет$A \mapsto gAg^{-1} + g\mathrm{d}g^{-1}$(без учета раздражающих факторов$\mathrm{i}$). Какое это имеет отношение к нашему интуитивному представлению о калибре? Что ж,$P$локально выглядит$U_\alpha \times G$, где элемент группы$h \in G$действовать на точку$(x,k)$просто означает$(x,k)h := (x,kh)$, и сделать калибровочный траф просто$(x,k) \mapsto (x,kg(x,k))$. Таким образом, все, что делает trafo, — это переключает элементы группы выше точки.$x \in \Sigma$вокруг, или, другими словами, выбирает новую точку в том, что выглядит$\{x\} \times G$быть групповой идентичностью. Это (в расплывчатом смысле) обобщение свободы установки «нуля» для некоторого потенциала, о котором говорил PhotonicBoom.

Теперь, когда эта странная симметрия имеет место, это нормально, но как мы можем получить вещи, которые не меняются при калибровочном преобразовании? Прямо сейчас,$A$меняется, точки в$P$меняются местами, разве здесь не должно быть что-то калибровочно-инвариантным ?

Определить ковариантную производную по связи $A$в качестве

$$\mathrm{d}_A f := \mathrm{d}f + A \wedge f$$

(каждая ковариантная производная поля, преобразующаяся в представление$G$тоже будет преобразовываться в том представлении, но я тут уже написал стену текста, так что не буду вдаваться в поля материи, модное словцо связанные векторные пучки ) и определим кривизну или напряжённость поля

$$F := \mathrm{d}_A A = \mathrm{d}A + A \wedge A$$

Теперь прямым вычислением можно показать, что$F$трансформируется как$F \mapsto gFg^{-1}$. В ED все коммутирует, и у вас уже есть калибровочно-инвариантная величина (поскольку$gFg^{-1} = F$там), что хорошо, так как напряженность поля как физическая величина не должна изменяться при калибровочном преобразовании! Для общего$G$, которые во всех интересующих случаях могут быть записаны как группы матриц, просто возьмите след.$\mathrm{tr}(gFg^{-1}) = \mathrm{tr}(F)$инвариантна, так как след инвариантен относительно циклических перестановок.

И мы закончили! Действие для этой чистой теории Янга-Миллса таково:

$$S[A] := \frac{1}{4e^2}\int_\Sigma \mathrm{Tr}(F \wedge \star F)$$

с$e$некоторая константа связи. Я не совсем уверен, улучшает ли это вашу интуицию, как вы, возможно, надеялись, но так оно и есть (при условии, что я не допустил где-то серьезной технической ошибки, указатели, конечно, приветствуются).

Вы в основном правы. Калибровочная теория — это теория поля, которая оставляет уравнения движения инвариантными относительно локальных (важное различие, указанное @joshphysics) преобразований координат. Это дает физикам возможность вводить произвольные степени свободы для игры и упрощения задач до тех пор, пока физические величины остаются прежними.

Например, в электродинамике вы можете переопределить потенциал, пока градиент остается прежним. Электрическое поле$E(r)$(наша физическая величина) определяется по формуле:

$$E = -\nabla\phi$$

Но$\phi$можно преобразовать, добавив постоянный член$k$что даст:

$$\phi' \rightarrow \phi + k$$

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:

$$E = -\nabla(\phi + k) = -\nabla \phi$$ что соответствует той же физической величине, что и выше (в данном случае электрическому полю).

Это всего лишь пример. Другим примером, который, вероятно, делает более ясным полезность этой теории, является гравитационный потенциал$V = mgh$. Мы можем выбрать начало координат где угодно, поскольку нас интересует только разность потенциалов энергии , и это значительно упрощает вычисления (вам не нужно заботиться о начале координат, только о расстоянии между точками, которые вы исследуете).

В квантовой теории поля калибровочные преобразования приводят к сохраняющимся величинам с помощью теоремы Нётер, которая гласит, что для каждой непрерывной симметрии существует сохраняющаяся величина. Группа независимых калибровочных преобразований порождает калибровочные поля. Каждому генератору калибровочной группы соответствует калибровочное поле, описывающее калибровочные бозоны .

Еще один взгляд на калибровочные теории, чтобы добавить к ответу ACuriousMind : наряду с добавлением степеней свободы, которые дают больше возможностей для маневра, чтобы использовать более широкий класс методов решения, калибровочная теория - это способ для теоретика кодировать экспериментально наблюдаемые симметрии в теория-кандидат. Вы могли бы, например, знать из экспериментальной литературы, что определенный вид взаимодействия сохраняет некоторые экспериментально измеренные непрерывные величины, давайте назовем их «кровоточивость», «запутанность» и «таргледность», чтобы подчеркнуть общность идеи (я полагаю, что они были изучены Таргоиды под предводительством физика-теоретика Горта). Один из способов заставить теорию-кандидата сохранить белиберду, путаницу и путаницу в описаниях взаимодействия состоит в том, чтобы сделать ее теорией, описываемой лагранжианом, а затем настроить этот лагранжиан так, чтобы он был инвариантным по отношению к группе Ли.$\mathfrak{G}$преобразований по его координатам. Затем теорема Нётер говорит вам, что будет одна сохраняющаяся величина для каждого базисного члена алгебры Ли группы Ли.$\mathfrak{g}$. Эта группа Ли затем является структурной (калибровочной) группой для расслоения, образованного с$\Sigma$как базовое пространство (в нотации ACuriousMind, а «калиброванные» поля - это слои, как в ответе ACuriousMind . Итак, мы постулируем лагранжиан, который имеет группу симметрии размерности 3 для$\mathfrak{G}$.

Другие ответы, в которых я говорю о подобных вещах, здесь и здесь . Последний ответ содержит то, что я считаю превосходным ориентиром для неспециалистов, и я начал чувствовать, что понимаю такие вещи (хотя все еще довольно смутно).

Конечно, это не единственный способ сохранения вещей, поэтому сохраняющиеся количества не доказывают, что описание должно быть калибровочной теорией. Это просто отстойный подход, который проводит аналогию с первой калибровочной теорией (электродинамика Максвелла) и другими видами физических теорий: вы надеетесь, что сможете сделать какое-то фальсифицируемое предсказание с помощью вашего лагранжиана, чтобы экспериментатор мог увидеть, находитесь ли вы на правильном пути. правильном пути. Что хорошо в калибровочной теории, так это то, что сохранение сохраняется во всех гладких преобразованиях, которые проходят по гладкой траектории в пространстве-времени, поэтому мы не говорим о разрывных прыжках из одной точки в другую, смещенную на ненулевое расстояние, и наша теория остается «локальной»: Ричард Фейнман говорит об этой неоднозначности консервативной теории, когда выводит Пойнтинга.начало главы 27 тома II

Между прочим, наиболее интересное и весьма необычное применение калибровочных теорий находится в области неголономной теории управления динамическими системами. Самая лучшая основа для размышлений о том, как падающая кошка переворачивается при сохранении углового момента, следующая: кошка может быть описана многообразием$\Sigma$(используя обозначение ACuriousMind ), называемое «пространством кошачьих форм», и кошка может деформировать свою форму, чтобы плавно перемещаться между точками многообразия. Эти формы описываются в системе координат, фиксированной относительно осей, установленных на кувыркающейся (т.е. падающей и вращающейся) кошке. На языке расслоений пространство форм является базовым пространством.$\Sigma$, волокно – это пространство$SO(3)$(или же$SO(2)\cong U(1)$) ориентации кота в пространстве. Топология пучка определяется понятием или связью «параллельного переноса», которую можно получить, вычислив сдвиг в ориентации кота, возникающий благодаря сохранению углового момента из-за следования кота за кусочно$C^1$Путь через пространство форм. Структурная (калибровочная) группа — это некоторая связная подгруппа Ли группы$SO(3)$действует на волокно$SO(3)$сам.

Подробнее о падающем коте я говорю в своей статье:

«О кошках и их самом замечательном рефлексе выравнивания» на моем веб-сайте Wet Savanna Animals.

Основополагающая работа Ричарда Монтгомери:

Ричард Монтгомери, «Калибровочная теория падающего кота», в MJ Enos, «Динамика и управление механическими системами», Американское математическое общество, стр. 193–218, 1993 г.

Я написал свою статью в ходе чтения и понимания идей Монтгомери. Таким образом, вы МОЖЕТЕ найти мою статью более мягкой, но разные виды технического изложения лучше подходят для разных складов ума.