Радиус звезды, метрика Шварцшильда и черные дыры

Позволять$R_{ab}(x)$быть тензором Риччи в точке$x$в пространстве-времени, пусть$T^{ab}(x)$— тензор энергии-импульса, и пусть$D$обозначают количество измерений пространства-времени (так$D=4$в реальном мире). Тогда для$D\neq 2$, из уравнения поля Эйнштейна следует

$$\text{$R_{ab}(x)=0$ if and only if $T_{ab}(x)=0$} \tag{0}$$ в каждой точке$x$. Чтобы вывести это, используйте уравнение поля Эйнштейна $$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}g^{cd}R_{cd}\propto T_{ab} \tag{1}$$ вместе с тем, что это же уравнение можно записать $$R_{ab}\propto T_{ab}-\frac{1}{D-2}g_{ab}g^{cd}T_{cd} \tag{2}$$ где$g_{ab}$- метрический тензор с обычным соглашением о суммировании для повторяющихся индексов. Уравнение (2) можно вывести из (1), сжав обе части (1) с$g^{ab}$, используя результат для записи скаляра Риччи$g^{ab}R_{ab}$с точки зрения следа$g^{ab}T_{ab}$тензора энергии-импульса, а затем подставив это выражение для$g^{ab}R_{ab}$обратно в (1). Уравнение (1) говорит о том, что условие$R_{ab}=0$подразумевает$T_{ab}=0$, а уравнение (2) говорит о том, что условие$T_{ab}=0$подразумевает$R_{ab}=0$, как утверждается. В словах:

• Тензор Риччи должен быть равен нулю в вакуумных областях, таких как внешность идеализированной звезды. (Но тензор кривизны$R_{abcd}$все еще может быть ненулевым, где$T_{ab}=0$.)

• Внутри звезды, где у нас невакуум ($T_{ab}\neq 0$), тензор Риччи также должен быть отличен от нуля.

1) Какая здесь связь с тензором Риччи и почему это означает, что решение Шварцшильда здесь не работает?

Решение, которое чаще всего называют просто решением Шварцшильда, — это решение, имеющее$R_{ab}=0$везде (потому что$T_{ab}=0$везде), кроме сингулярности. Он описывает черную дыру. Благодаря теореме Биркгофа [1] это решение применимо и вне любого сферически-симметричного невращающегося распределения материи, такого как идеализированная звезда, где$T_{ab}=0$. Однако это не применимо внутри звезды, потому что$T_{ab}\neq 0$(и поэтому$R_{ab}\neq 0$) внутри звезды.

2) Что такое внутреннее решение Шварцшильда?

Внутреннее решение Шварцшильда — это метрика, которая решает уравнение поля Эйнштейна внутри звезды, а также соответствует обычному внешнему решению Шварцшильда на границе между вакуумной и невакуумной областями. Простейшим примером внутреннего решения Шварцшильда является решение, соответствующее постоянной плотности повсюду внутри звезды. Это описано в разделе 12.3 из [2] и в разделе 2 из [3]. Предположение о постоянной плотности нереалистично, но оно относительно просто математически и достаточно хорошо, чтобы ответить на заданные здесь вопросы.

3) Почему здесь не происходит ничего исключительного?

Для типичной звезды с массой$m$, радиус звезды намного больше радиуса Шварцшильда$2m$. (Для нейтронной звезды замените «намного больше» на «немного больше».) Ничего особенного не происходит при$r=2m$потому что это хорошо внутри области, где$T_{ab}\neq 0$. Горизонт событий, связанный с обычным решением Шварцшильда для пустого пространства, в данном случае не имеет значения, поскольку обычное решение Шварцшильда для пустого пространства справедливо только в областях, где$T_{ab}=0$. Для звезды у нас есть другое общее решение, которое совпадает только с обычным решением Шварцшильда для пустого пространства за пределами звезды. Внутри метрика другая. У него нет ни горизонта событий, ни сингулярности.

4) Почему мы заботимся о том, чтобы все тело было внутри?$2m$?

Для того, чтобы получить горизонт событий , нам нужно иметь достаточную массу, сконцентрированную в меньшем, чем его радиус Шварцшильда. Типичная звезда не удовлетворяет этому условию; если бы это было так, то она бы рухнула и больше не была бы звездой.

Помимо поиска по ключевым словам «внутреннее решение Шварцшильда», вы, вероятно, сможете найти дополнительную информацию, выполнив поиск по ключевым словам «теорема Бухдала». Вот как я нашел ссылку [3].

---

Использованная литература:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_theorem_(relativity)

[2] Хобсон, Эфстатиу и Лазенби (2006), Общая теория относительности: введение для физиков , издательство Кембриджского университета.

[3] Реззолла, «Введение в звездный коллапс и черные дыры», https://www.researchgate.net/publication/239533143_An_Introduction_to_Stellar_Collapse_to_Black_Holes