Независимая от времени метрика Керра

Метрика Керра, выраженная через полярные координаты$r,\theta,\phi$, такой, что$x = r\sin(\theta)\cos(\phi)$,$y = r\sin(\theta)\sin(\phi)$,$z = r\cos(\theta)$. Тогда метрика Керра задается как

$$\begin{align*} ds^2 = &-\left(1 - \frac{2GMr}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right) dt^2 + \left(\frac{r^2+a^2\cos^2(\theta)}{r^2-2GMr+a^2}\right) dr^2 + \left(r^2+a^2\cos(\theta)\right) d\theta^2\\ &+ \left(r^2+a^2+\frac{2GMra^2}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right)\sin^2(\theta) d\phi^2 - \left(\frac{4GMra\sin^2(\theta)}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right) d\phi\, dt \end{align*}$$ где $a \equiv S/M$- угловой момент объекта на единицу массы, а $G$— гравитационная постоянная. Это точное решение уравнения Эйнштейна для пустого пространства.

Скажем, если мы будем рассматривать метрику за постоянное время,$t_0$. Можно ли тогда определить метрику Керра на подмногообразии пространства-времени, скажем, только в пространстве? Если да, то как я могу это сделать? Это так же просто, как отбрасывание условий, зависящих от времени, т.е.

$$\begin{align*} ds^2 = & \left(\frac{r^2+a^2\cos^2(\theta)}{r^2-2GMr+a^2}\right) dr^2 + \left(r^2+a^2\cos(\theta)\right) d\theta^2\\ &+ \left(r^2+a^2+\frac{2GMra^2}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right)\sin^2(\theta) d\phi^2 \end{align*}$$ или мне нужно использовать индуцированную метрику для описания метрики на подмногообразии?

Изменить: я решил геодезические дифференциальные уравнения, используя «независимую от времени» метрику Керра, с a = 0(т.е. это уменьшает метрику Керра до метрики Шварцшильда) и радиус Шварцшильда для определения других параметров:

Большинство сюжетов, которые я получил, вращались вокруг сингулярности в ориго.

Вот сюжет, где я поставил$\phi$к константе, ось z становится «временем»:

Обновление: я нашел следующую цифру, которая, похоже, подтверждает мою первую цифру.

Стратегии прямой визуализации тензорных полей второго ранга Вернера Бенгера и Ханса-Кристиана Хеге