Магнитная сила как релятивистский эффект?

Краткий ответ: если вы хотите проанализировать вещи в системе покоя электронов в проводе А (электроны которой движутся со скоростью менее половины относительно провода, чем электроны в проводе В), вы должны принять во внимание не только электрическая сила, действующая на электроны в проводе А, которая, как вы говорите, будет отталкивающей, но также и электрическая сила на положительные заряды (ионы, потерявшие электроны ) в проводе А, наряду с магнитной силой на положительных зарядах в провода А, которые движутся в этой рамке. Когда я сделал это в числовом примере ниже, я обнаружил, что результирующая сила на проводе А была притягивающей, несмотря на то, что электрическая сила на электронах была отталкивающей.

Длинный ответ: средняя скорость электронов в проводниках на самом деле довольно мала, но давайте рассмотрим пример, где скорости велики, чтобы упростить вычисления — скажем, по проводу А электроны движутся со скоростью$\sqrt{0.0199}c$= 0,14106736c относительно проволочной опорной рамы (число выбрано так, чтобы расстояние уменьшилось точно на 0,99 из-за лоренцевского сокращения, а в проволоке B они движутся со скоростью$\frac{(0.6 + \sqrt{0.0199})c}{1 + 0.6\sqrt{0.0199}}$= 0,68323783c (это число выбрано, чтобы сложение скоростей хорошо работало ниже). Таким образом, сама проволока движется при v = -0,14106736c в системе отсчета электронов в проволоке A, а электроны в проволоке B движутся при u = 0,68323783c относительно самой проволоки, поэтому мы можем использовать формулу сложения скоростей найти скорость электронов в проводе B в каркасе провода A:$(v + u)/(1 + vu/c^2)$= (-0,14106736с + 0,68323783с)/(1 - 0,14106736*0,68323783) = 0,6с. Это означает, что расстояние между электронами в проводе B будет уменьшено в 2 раза.$\sqrt{1 - 0.6^2}$= 0,8 в каркасе проволоки А.

Если линейная плотность заряда положительных зарядов в системе покоя каждой проволоки равна$\lambda$, то в системе электронов в проводе А плотность положительного заряда в проводе В равна$\lambda_{B+} = \lambda / 0.99$а плотность отрицательного заряда в проводе B равна$\lambda_{B-} = -\lambda / 0.8$. Между тем, в той же системе отсчета линейная плотность заряда электронов в проводе А равна всего лишь$\lambda_{A-} = -\lambda$а плотность положительных зарядов в проводе А равна$\lambda_{A+} = \lambda / 0.99$. Сила притяжения на единицу расстояния на одном линейном заряде из-за другого линейного заряда на расстоянии d равна$- \lambda_1 \lambda_2 / 2 \pi \epsilon_0 d$, поэтому общая сила/длина притяжения отрицательных зарядов в проводе А, обусловленная как положительными, так и отрицательными зарядами в проводе В, равна$-(\lambda_{A-}\lambda_{B-} + \lambda_{A-}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$"="$-((\lambda^2/0.8) + (-\lambda^2/0.99))/2 \pi \epsilon_0 d$"="$- (0.19/0.792) \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$"="$- 0.2399 \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$. А общая сила/длина притяжения положительных зарядов в проводе А, обусловленная как положительными, так и отрицательными зарядами в проводе В, равна$-(\lambda_{A+}\lambda_{B-} + \lambda_{A+}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$"="$-(\lambda_{A+}\lambda_{B-} + \lambda_{A+}\lambda_{B+})/2 \pi \epsilon_0 d$"="$-((-\lambda^2/0.792) + (\lambda^2/0.9801)) /2 \pi \epsilon_0 d$"="$(0.1881/0.7762392) \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$"="$0.2423 \lambda^2 / 2 \pi \epsilon_0 d$. Таким образом, вы можете видеть здесь, что чистая сила притяжения положительных зарядов в проводе А на самом деле немного больше, чем чистая сила отталкивания отрицательных зарядов в проводе А.

Затем, чтобы быть уверенным в том, будет ли провод A притягиваться или отталкиваться проводом B, когда мы анализируем вещи в этой системе отсчета, нам также необходимо вычислить силу Лоренца на единицу длины для положительных зарядов в проводе A. Для линейного тока ток = (заряд на единицу длины) * (скорость зарядов), поэтому ток, обусловленный положительными зарядами в проводе А, которые движутся со скоростью -0,14106736с в этой системе отсчета, равен$\lambda_{A+} * -0.14106736c$"="$-0.14249228 \lambda c$. Это также ток из-за положительных зарядов в проводе B в этом кадре. А ток из-за отрицательных зарядов в проводе B, который в этом кадре движется со скоростью +0,6c, будет$\lambda_{B-} * 0.6c$"="$-0.75 \lambda c$. Таким образом, в этой системе отсчета общий ток в проводе А равен$-0.14249228 \lambda c$а полный ток в проводе B равен$(-0.14249228 - 0.75) \lambda c$"="$-0.89249228 \lambda c$. Таким образом, даже не вычисляя силу/длину, мы можем видеть, что магнитная сила будет притягательной, поскольку токи в одном направлении в параллельных проводах вызывают магнитное притяжение проводов. Чтобы решить математику, сила притяжения на единицу длины для двух параллельных прямых проводов на расстоянии d с токами$I_1$и$I_2$является$\mu_0 I_1 I_2 / (2 \pi d)$, поэтому в этом случае сила притяжения будет$\mu_0 0.12717326 \lambda^2 c^2 / (2 \pi d)$.