Магнитный дипольный момент

Я пытался решить эту проблему уже более суток, и был бы признателен за помощь. Задача состоит в том, чтобы доказать, что магнитный дипольный момент сферического шара массой$m$и заряжать$Q$, заряд которого распределен равномерно только по его поверхности, вращающейся вокруг своего центра, равен

$$\vec{\mu} = \frac{5Q}{6m} \vec{L}.$$ Я рассуждаю так: мы знаем формулу для дипольного момента через поверхностную плотность заряда. $K$, который $$\vec{\mu} = \frac{1}{2} \oint \vec{r} \, ' \times \vec{K} \, dA.$$ Хорошо, теперь мы должны выяснить эти количества. ну по определению $\vec{K} \equiv \sigma \vec{v}$, где $\sigma$- поверхностная плотность заряда. Используя это, мы можем записать это как $$\begin{align} \vec{K} &= \sigma \vec{v} \\ &= \sigma \vec{\omega} \times \vec{r} \\ &= \sigma \omega R \sin \theta \hat{\phi}. \end{align}$$ Далее мы знаем, что $\vec{r} \, ' = R\hat{r},$поскольку то, что мы интегрируем, лежит только на поверхности. Теперь все, что мы делаем, это берем перекрестное произведение: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{1}{2} \oint R\hat{r} \times \sigma \omega R \sin \theta \hat{\phi} \, dA \\ &= \frac{\sigma \omega R^2}{2} \oint \sin \theta (-\hat{\theta}) \, dA.\\ \end{align}$$ Мы знаем, что дипольный момент будет $z$направление, потому что это направление углового момента, поэтому мы можем переписать $\hat{\theta}$в нашем уравнении выше, принимая только $z$компонент. $\hat{\theta} = \cos \theta \cos \phi \hat{i} + \cos \theta \sin \phi \hat{j} - \sin \theta \hat{k}$и так мы получаем $$\vec{\mu} = \frac{\sigma \omega R^2}{2} \oint \sin^2 \theta \hat{k} \, dA$$ Мы знаем это $dA = R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi$, а наши пределы интегрирования от $0$к $2 \pi$для $\pi$и из $0$к $\phi$для $\theta$, поэтому наш окончательный результат выглядит следующим образом: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{\sigma \omega R^2}{2} \int_{\phi = 0}^{2 \pi} \int_{\theta = 0}^{\pi} \sin^2 \theta \hat{k} (R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi) \\ &= \frac{\sigma \omega R^4}{2} \int_{\phi = 0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^{\pi} \sin^3 \theta \hat{k} \, d\theta \, d\phi \\ &= \frac{\sigma \omega R^4}{2} \frac{4}{3} 2 \pi \hat{k} \\ &= \frac{4}{3} \sigma \omega \pi R^4 \hat{k}. \end{align}$$ И последнее, но не менее важное: нам нужно привести это в правильную форму, как того требует задача. Мы знаем это $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$и $\vec{L} = I_{sphere} \vec{\omega} = \frac{2}{3} mR^2 \omega \hat{k},$так как угловая скорость направлена ​​в $z$направление. Чтобы закончить, мы подставляем эти значения и получаем: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{4}{3} \frac{Q}{4\pi R^2} \omega R^4 \pi \hat{k} \\ &= \frac{Q\omega R^2}{3} \hat{k} \\ &= \frac{Q}{3} \frac{3\vec{L}}{2m} \\ &= \boxed{\frac{Q}{2m} \vec{L}} \end{align}$$ ой ... Еще раз, это не правильный ответ, и я не могу найти никаких ошибок, поэтому помощь будет очень признательна! Заранее спасибо, как обычно.