Специальная теория относительности ограничивает безмассовые электрические диполи, но не безмассовые магнитные диполи?

Я думаю, что это довольно запутало некоторые вопросы в моем первоначальном вопросе об электрических дипольных моментах электронов - так что вот некоторые комментарии и, возможно, еще один подразумеваемый вопрос о свойствах преобразования Лоренца таких моментов.

The $-\mu\cdot {\bf B}$энергия стационарного магнитного диполя, взаимодействующего с магнитным полем, может быть записана как лоренц-инвариантный вклад в лагранжиан как$M_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$так что это проясняет, что дипольный момент является естественно кососимметричным лоренцевым$2$-тензор. В системе покоя частицы магнитный диполь будет иметь

$$\mu_x= M_{23},\quad\mu_y = M_{31}, \quad \mu_z= M_{12}$$ с $M_{01}=M_{02}= M_{03}=0$.

Для электрического диполя неподвижная частица будет иметь и член взаимодействия$D_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$с

$$d_x= D_{01}, \quad d_y= D_{02}, \quad d_z= D_{03}$$ с исчезающими тремя другими компонентами

Когда обладающая моментом частица движется$M_{0i}$компоненты$2$-тензор станет ненулевым, и поэтому движущийся магнитный диполь ведет себя так, как если бы он обладал электрическим дипольным моментом. Действительно, когда петля с током движется или наблюдается из движущейся системы отсчета, кажется, что она имеет положительный и отрицательный заряды, расположенные так, что она обладает электрическим дипольным моментом, перпендикулярным направлению ее движения.

Точно так же движущийся электрический диполь будет иметь характер магнитного диполя.

Все это предполагает наличие у частицы системы покоя. Безмассовая частица не имеет системы покоя, так что же происходит с моментами? Мое утверждение о моменте массы заряженной вращающейся частицы исходит из представления о такой частице на круговой циклотронной орбите. Его спин (и, следовательно, любой магнитный момент) вынужден указывать в направлении движения и, следовательно, должен прецессировать на циклотронной частоте.$\Omega_{\rm cyclotron}=eB/E$где$E$это энергия. Теперь скорость прецессии Лармора равна$\Omega_{\rm Larmor}= -B \mu/{\rm spin}$. Итак, используя это как определение эффективного момента и приравнивая$\Omega_{\rm Larmor}$с$\Omega_{\rm cyclotron }$мы имеем для спина = 1/2,

$$\mu= e/2E.$$
Этот результат также может быть получен из разложения Гордона тока для фермиона Вейля или с помощью более сложных рассуждений [DT Son, N. Yamamoto, arXiv: 1210.8158]. Поскольку $\bar \psi \sigma_{\mu\nu}\psi$Член аномального магнитного момента Паули-Вейскопфа тождественно равен нулю для частиц Вейля, поэтому нет возможности вручную добавить поправку на аномальный магнитный момент в уравнение Вейля.

Что менее ясно для меня, так это то, как это феноменологическое определение скорости прецессии$\mu$согласуется с 2-тензорным моментом$M_{\mu\nu}$. Оно скрыто в механизме уравнений Вейля точно так же, как$\mu =eg/2m\times 1/2$с$g=2$Магнитный момент Дирака скрыт в механизме Дирака.

---

Бен совершенно правильно говорит, что вышесказанное не отвечает на его вопрос. Ниже я попытаюсь объяснить, почему вопрос о преобразованиях Лоренца для безмассовых диполей (как магнитных, так и электрических) непрост. Я хотел бы извлечь физическую картину (палочка от эскимо Бена) из довольно сложного формализма, но трудно увидеть лес за деревьями...

Начнем с понятия релятивистского «спина» протяженного тела с сохраняющимся тензором энергии-импульса$T^{ab}$. Тензор Лоренца, дающий полный угловой момент тела относительно начала координат, равен

$$M^{ab}= x^a p^b-x^b p^a+S^{ab},$$ где $x^a=(x^0,x^1,x^2,x^3)$положение тела в пространстве-времени, $$p^a= \int_{x^0=const} T^{0a}\,d^3x$$ его четырехимпульс и кососимметричный тензор $S^{ab}$является его «собственным угловым моментом» --- последний определяется как угловой момент относительно точки в теле, помеченной координатами $x^a$. Проблема в том, что для релятивистского вращающегося объекта нет естественного выбора этой точки. Очевидный выбор, "центр масс" $$X^a_{\rm cm} \equiv \frac 1 E \int_{x^0=const} x^a T^{00}\,d^3x, \quad E=\int_{x^0=const} T^{00}\,d^3x,$$ зависит от фрейма. Изменение определения "положения" тела приводит к перетасовке углового момента между орбитальной частью $x^a p^b-x^b p^a$и спиновая часть $S^{ab}$. Разный выбор приводит к разным условиям $S^{ab}$. В работе Misner, Thorn and Wheeler (MTW) ​​показано, что если мы решим определить «положение» как центр масс тела в системе отсчета, движущейся с четырехкратной скоростью $v^a$затем $v_aS^{ab}=0$. Если мы определим положение как центр масс в системе покоя тела, то мы получим условие $p_aS^{ab}=0$; если мы выберем центр масс в лабораторной системе координат, то $S^{0b}_{\rm lab}=0$.
Полностью антисимметричный тензор Паули-Любанского $$W^{abc}\stackrel{\rm def}{=} p^a S^{bc} + p^bS^{ca}+ p^c S^{ab}$$ имеет полезное свойство, состоящее в том, что на него не влияет такая перетасовка. В четырех измерениях пространства-времени $W^{abc}$обычно переупаковывается как псевдовектор Паули-Лубански. $W^a={\textstyle\frac 16} \epsilon^{abcd}W_{bcd}$но 3-тензор является более общим, поскольку он имеет одни и те же свойства во всех пространственно-временных измерениях. С использованием $W^{abc}$находим, что центр масс лабораторной рамы вращается $S^{ab}_{\rm lab}$связано с вращением центра масс покоя $S^{ab}$к
$$S^{ab}_{\rm lab} = \left(S^{ab} - \frac{p^a}{E} S^{0b} - S^{a0}\frac{p^b}{E}\right) = \frac 1 E W^{0ab}.$$ Эта последняя величина является тензором только относительно поворотов, поскольку ее определение привязано к системе координат, где $v^a=(1,0, \ldots,0)$.

Теперь давайте посмотрим, как эти идеи проявляются применительно к
позитивным энергетическим решениям.$u_\alpha({\bf k})$уравнения Дирака. Мы используем быстроту$s$с точки зрения которого

$$E=m\cosh s,\\ {\bf k}=\hat {\bf k }\, m \sinh s,\\ {\bf v}= \hat {\bf k}\,\tanh s,$$ и $\gamma \equiv (1-|{\bf v}|^2)^{-1/2}=\cosh s$. 4-спинорная часть решения плоской волны $$\psi_{\alpha, {\bf k}}(x) =u_\alpha({\bf k}) e^{i{\bf k}\cdot {\bf x} - iEt}$$ затем $$u_\alpha({\bf k})= \frac{1}{\sqrt{2m(E+m)}}\left[\matrix{(E+m)\chi_\alpha \cr ({\sigma}\cdot {\bf k} )\chi_\alpha}\right] =\left[\matrix{\phantom{({ \sigma}\cdot \hat {\bf k} )} \cosh (s/2)\chi_\alpha \cr \sinh(s/2) ({ \sigma}\cdot \hat {\bf k} )\chi_\alpha}\right].$$ Я использую ковариантную нормализацию $\bar u_\alpha u_\alpha=1$в котором плотность частиц в плосковолновом пучке равна $E/m$. Количество $\chi_\alpha$является 2-спинором, определяющим состояние спина в системе покоя частицы.

Теперь рассмотрим

$$S^{ab}_{\alpha\beta} = \bar u_\alpha(k)\Sigma^{ab} u_\beta(k),$$ где $$\Sigma^{ab}= \frac i 4 [\gamma^a,\gamma^b]$$ являются 4-спинорными генераторами преобразований Лоренца. Это выражение
определяет $\alpha,\beta$матричные элементы тензорнозначный оператор Лоренца $\hat S^{ab}$для плоских волновых состояний. В остальной системе этот тензор совпадает с $\chi_\alpha^\dagger { \sigma} \chi_\beta$. Кроме того, уравнение Дирака дает условие $k_a \hat S^{ab}=0$поэтому естественно считать $\hat S^{ab}$как оператор собственного вращения относительно центра масс в системе покоя.

Для решений плоской волны уравнения Дирака имеем

$$\frac 12 \bar u_\alpha\{\gamma_a, \Sigma_{bc}\} u_\beta = \frac 1m \bar u_\alpha(k_a \Sigma_{bc}+ k_b \Sigma_{ca}+k_c\Sigma_{ab})u_\beta=\frac{1}m (W_{abc})_{\alpha\beta},$$ так что $$\frac 1 \gamma u^\dagger_\alpha \Sigma_{ij} u_\beta = \bar u_\alpha\left(\Sigma_{ij}- \frac{k_i}{E} \Sigma_{0j}- \Sigma_{i0}\frac {k_j}{E}\right) u_\beta.$$ — спиновая плотность в пучке с одной частицей на единицу объема, а — угловой момент одиночной частицы относительно центра масс лабораторной системы координат.

Используя явное решение$u_\alpha({\bf k})$приведенное выше, мы находим, что

$$\bar u_\alpha \Sigma_{ij} u_\beta= \frac 12 \epsilon_{ijk} \chi^\dagger_\alpha \left(\gamma \sigma_k -\frac{({\bf k}\cdot { \sigma}) k_k}{m^2(1+\gamma)}\right)\chi_\beta, \quad i,j=1,2,3, \\ \bar u_\alpha \Sigma_{0i} u_\beta= \frac1{2m} \chi^\dagger_\alpha (\epsilon_{ijk} k_j \sigma_k)\chi_\beta .$$ Обе эти величины расходятся как $\gamma^{-1}$как $m\to 0$по фиксированной $E$. Это естественно, так как система покоя отталкивается до бесконечного импульса. Тем временем $$\bar u_\alpha\left(\Sigma_{ij}- \frac{k_i}{E} \Sigma_{0j}- \Sigma_{i0}\frac {k_j}{E}\right) u_\beta= \epsilon_{ijk} \frac 1{\gamma}\left\{\frac 12 \left( \sigma_k + \frac{({\bf k}\cdot { \sigma}) k_k}{m^2(1+\gamma)} \right)_{\alpha\beta}\right\}$$ остается конечным и стремится к $\alpha,\beta$матричные элементы $\epsilon_{ijk}S_k,$где ${\bf S}= (\hat {\bf k }\cdot { \sigma}) \hat {\bf k}/2$является $\hat {\bf k}$раз превышает спиральность частицы. Это последняя величина, умноженная на $e/E$это дает магнитный момент частицы Вейля, определенный ларморовской прецессией. Уравнения с этим моментом не будут условно ковариантными, так как $\hat S^{ab}_{\rm lab}$не является тензором Лоренца. Отсюда необычный способ проявления лоренц-инвариантности ("боковой скачок") в статистической механике безмассовых вращающихся частиц.

С той же проблемой приходится сталкиваться, когда мы рассматриваем электрический дипольный момент безмассовой частицы. Для заряженной частицы электрический дипольный момент зависит от выбранного «положения» частицы. Это положение изменится, когда мы сделаем преобразование Лоренца.

Вот частичный ответ, который расширяет ваш классический аргумент. Ты пишешь,

Если бы в нашей Вселенной были магнитные монополи, то мы могли бы вернуться к аргументу палочки от мороженого и убедить себя, что безмассовые магнитные диполи не могут иметь дипольный момент в направлении движения.

Но у нас, кажется, нет магнитных монополей в этой Вселенной, и предположение, что они есть, требует очень тщательного переосмысления аргументов симметрии. Например, поскольку электрические и магнитные поля ведут себя по-разному при инверсии пространства, я думаю, что магнитный заряд должен быть псевдоскалярной величиной. Я уверен, что мы могли бы провести весь день, думая о других проблемных ограничениях.

Чтобы расширить ваш (очень умный) аргумент о классических диполях, нужно не постулировать существование зарядов, которых мы не наблюдаем, а вместо этого рассмотреть поведение классического магнитного диполя при усилении: токовая петля. При форсировании любая составляющая вектора нормали к петле тока, которая параллельна скорости, не изменяется, в то время как любая составляющая этого вектора нормали, перпендикулярная скорости, разбавляется сокращением длины одной стороны петли. Таким образом, безмассовая петля с током может иметь магнитный дипольный момент, параллельный ее импульсу, но не перпендикулярный ее импульсу.

Обратите внимание, что ваш диполь в виде палочки от эскимо не запрещает электрический дипольный момент, который перпендикулярен направлению повышения — сокращение длины убивает только компонент, параллельный усилению.

Классический угловой момент претерпевает такое же выравнивание с направлением скорости при ускорении, как и магнитный момент, по более или менее тем же причинам. Мои друзья, занимающиеся экспериментальным электрическим дипольным моментом, во время этой части своих выступлений отмечают, что собственный угловой момент частицы является ее единственным предпочтительным направлением в пространстве и что любое другое (псевдо-)векторное свойство частицы должен быть параллелен или антипараллелен угловому моменту. Когда их настаивают на объяснении, они либо ссылаются на теорему Вигнера-Экхарта, либо приводят классическую аналогию, в которой электрический дипольный момент, перпендикулярный оси вращения, в среднем равен нулю.

Я думаю, это пара частичных ответов. Ваш классический аргумент хорош до тех пор, пока вы не изобретаете сущности с иной симметрией, чем остальная часть классического электромагнетизма. Может быть чисто основанный на симметрии аргумент, основанный на том, как$C,P,T$преобразования и спиновая степень свободы для полей возникают из группы Лоренца и симметрии при бустинге, но я чувствую себя на этой территории намного мрачнее.