Для получения этой разбивки уравнений Максвелла не требуется явного усложнения. Это можно полностью понять через реальное векторное пространство специальной теории относительности.

Начнем с уравнений Максвелла для электромагнитного поля на языке алгебры клиффорда, называемом STA: алгебра пространства-времени. Уравнения Максвелла принимают вид

где$\nabla F = \nabla \cdot F + \nabla \wedge F$,$F = e_0 E + B \epsilon_3$, в$(-, +, +, +)$соглашение о подписи.

Позволять$x$быть вектором положения в пространстве-времени. Обычно верно, что для вектора$v$и постоянный бивектор$C$,

Затем можно оценить выражение

где многоточие означает, что только$x$дифференцируется во втором члене; используя правило произведения,$F$является «постоянным», поэтому применимы приведенные выше формулы. Мы только что утверждали, что второй член равен нулю, поэтому мы получаем$\nabla (Fx) = (\nabla F) x$. Таким образом, мы приходим к следующему преобразованию уравнений Максвелла:

Теперь мы всегда можем написать$F$как «комплексный бивектор» в том смысле, что, используя$\epsilon = e_0 \epsilon_3$, и$\epsilon \epsilon = -1$, у нас есть

Важно отметить, что$\epsilon$не коммутирует ни с одним вектором.

Что входит в состав$Fx$? Писать$x = t e_0 + r$и мы можем записать их как

Это тоже можно записать в «сложной» форме:

Кажется, мы расходимся по некоторым признакам, но это та же самая величина, которую вы назвали$G$.

Теперь, чтобы поговорить о том, как разбиваются эти уравнения, давайте напишем$G = G_1 + G_3$, где$G_1 = (e_0 E \cdot r + \ldots)$и$G_3 = \epsilon (E \times r + \ldots)$. Давайте также напишем для$R = Jx = R_0 + R_2$.

Тогда уравнения Максвелла становятся

Первое и третье уравнения являются компонентами диполя Гаусса; второе уравнение представляет собой дипольное уравнение Ампера-Фарадея.

Теперь, что все это значит? Выражение для$G = Fx$включает в себя как вращательные моменты электромагнитного поля, так и некоторые скалярные произведения, поэтому он измеряет как то, насколько положение в пространстве-времени находится в той же плоскости, что и электромагнитное поле, так и то, насколько положение в пространстве-времени находится вне плоскости.

Вероятно, более поучительно взглянуть на исходный термин.$-Jx$. Это говорит нам как о моментах четырехтока, так и о том, как он движется к или от начала координат. Описание моментов полностью содержится в дипольном уравнении Ампера-Фарадея. Какие моменты это описывает? Пара двух противоположных точечных зарядов в состоянии покоя, разделенных пространственным вектором$2 \hat v$и с центром в начале координат, каждый с током в состоянии покоя$j_0$, создаст$R = Jx = + j_0 e_t \hat v - j_0 e_t (-\hat v) = 2 j_0 e_t \hat v$, так что это будет полностью описываться дипольным уравнением AF.

Однако это в нулевое время. В более поздние времена,$R$подхватит эти странные временные термины. Скажем, мы вовремя$\tau$. Затем$R = 2 j_0 e_t \hat v + j_0 e_t (\tau e_t) - j_0 e_t (\tau e_t)$. Так что в этом случае проблем нет: лишнее просто отменится. Однако один заряд начал бы набирать этот срок.

Короче говоря, эти уравнения странные .

Я просматривал это, и похоже, что вы можете немного улучшить свои обозначения. Вы можете определить продукт на четырех векторах, заданных$(a^0,\vec{a}) * (b^0,\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b} - a^0 b^0, b^0 \vec{a} - a^0 \vec{b} +i \vec{a} \times \vec{b})$. Также вы можете определить сопутствующий продукт$\bar{*}$к$(a^0,\vec{a}) \bar{*} (b^0,\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b} - a^0 b^0, b^0 \vec{a} - a^0 \vec{b} -i \vec{a} \times \vec{b})$. Затем вы можете определить четыре вектора$F$к$F=(0,\vec{F})$.

Тогда уравнения Максвелла становятся$\partial \bar{*} F = 4\pi j$, вы можете определить 4 вектора$R=r * j$, и$G=r * F$. Это четыре векторных аналога вашего$R$и$G$. Сформулировав все в терминах этих продуктов, ваши новые уравнения станут$\partial \bar{*} G =4\pi R$. Я не объяснил физический смысл, но, надеюсь, это облегчит понимание проблемы. Также надеюсь, что я не ошибся со знаком минус. Пожалуйста, прокомментируйте или исправьте ответ, если я это сделал.

Редактировать

Думаю, я могу попытаться дать некоторую интерпретацию, но я не думаю, что это будет слишком проницательно. В принципе, вы можете думать о$G$как момент поля, и$R$как момент тока. Вы обнаружили, что если поля и токи удовлетворяют уравнениям Максвелла, то и моменты должны удовлетворять их. Это напоминает мне о том, что если четырехвекторный потенциал удовлетворяет уравнению поля, то и поля должны удовлетворять, потому что процесс дифференцирования векторного потенциала коммутирует с применением оператора поля. Итак, здесь вы, кажется, говорите, что если поля и токи удовлетворяют уравнениям Максвелла, то и моменты должны удовлетворять, потому что процесс взятия моментов коммутирует с приложением$\partial \bar{*}$.