Макс. Энтропия = Мин. Энергия?

Question

Макс. Энтропия = Мин. Энергия?

Халкстер

Если закрытая система имеет субмаксимальную энтропию, то мы можем предположить, что теоретически мы можем извлекать энергию, и, таким образом, система переходит в состояние с максимальной энтропией, и свободной энергии нет. С другой стороны, каждая физическая система имеет тенденцию находиться в минимальном энергетическом состоянии в смысле внутренней энергии.

Следовательно, можем ли мы сказать, что принцип максимальной энтропии равен принципу минимума энергии ?

любопытный разум

«(суб) максимальная энтропия» ничего не значит, если вы не укажете, какие переменные здесь остаются постоянными, а какие изменяются.

Халкстер

@ACuriousMind Однажды я прервал приглашенного профессора на семинаре и указал на то же самое. Он очень рассердился.

любопытный разум

Боюсь, это мало что делает для вашего вопроса более ясным - если вы не укажете это, не совсем понятно, о чем вы здесь просите.

Ответы (2)

Макс. Энтропия = Мин. Энергия?

«(суб) максимальная энтропия» ничего не значит, если вы не укажете, какие переменные здесь остаются постоянными, а какие изменяются.
@ACuriousMind Однажды я прервал приглашенного профессора на семинаре и указал на то же самое. Он очень рассердился.
Боюсь, это мало что делает для вашего вопроса более ясным - если вы не укажете это, не совсем понятно, о чем вы здесь просите.

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Максимальная энтропия = минимальная энергия тогда и только тогда, когда добавляется правильная информация о физических условиях.

Что может быть доказано для каждой термодинамической системы, так это то, что условие максимальной энтропии при фиксированной внутренней энергии и фиксированных остальных экстенсивных переменных (например, объем и число частиц для типичной жидкой системы) эквивалентно условию, что внутренняя энергия равна минимум при фиксированной энтропии (и при фиксированных остальных экстенсивных переменных).

Вероятно, доказательство облегчает понимание этой двойственности. Его можно найти в каждом хорошем учебнике по термодинамике, например, в «Термодинамике Каллена» и «Введении в термостатистику» . Я подытожу это ниже.

Прежде всего, должно быть ясно, что максимум или минимум следует понимать как условия по отношению к одной или нескольким переменным, выражающим внутренние ограничения системы. Позволять $X$ указать одну переменную ограничения.

Если энтропия максимальна относительно $X$ , это экстремум и условие

{\frac{\partial С}{\partial Икс} |}_{U} "=" 0

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}} \right|_U = 0$ держит. Но из хорошо известного тождества частных производных следует, что

U

$U$ должен быть экстремальным относительно

X

$X$ по фиксированной

S

$S$ :

Вопрос "=" {\frac{\partial U}{\partial Икс} |}_{С} "=" - \frac{{\frac{\partial С}{\partial Икс} |}_{U}}{{\frac{\partial С}{\partial U} |}_{Икс}} "=" 0, [1]

$Q=\left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S = -\frac{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}}\right|_U}{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X}=0,~~~~~~[1]$ с

{\frac{\partial S}{\partial U} |}_{X} = \frac{1}{T}

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X=\frac{1}{T}$ никогда не может быть нулевым.

Чтобы показать, что $U$ является минимумом при фиксированном $S$ , если $S$ является максимальным при фиксированном $U$ , нам нужно получить промежуточный результат. У нас есть

{\frac{\partial Вопрос}{\partial Икс} |}_{С} "=" {\frac{\partial Вопрос}{\partial Икс} |}_{U}

$\left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U$ когда

{\frac{\partial U}{\partial X} |}_{S} = 0

$\left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S=0$ . Это следствие тождества

{\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{S} = {\frac{\partial Q}{\partial U} |}_{X} {\frac{\partial U}{\partial X} |}_{S} + {\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{U}

$\left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{U}}\right|_X \left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S + \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U$ .

Поэтому,

{\frac{\partial^{2} U}{\partial {Икс}^{2}} |}_{С} "=" {\frac{\partial Вопрос}{\partial Икс} |}_{С} "=" {\frac{\partial Вопрос}{\partial Икс} |}_{U} .

$\left.\frac{\partial^2{U}}{\partial{X}^2}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U.$ Нам нужно вычислить частную производную по

X

$X$ , при постоянном

U

$U$ последнего соотношения в уравнении [

1

$1$ ]. Член с производной знаменателя исчезает, потому что он умножается на

{\frac{\partial S}{\partial X} |}_{U}

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}} \right|_U$ что равно нулю (экстемальное условие). Таким образом, мы вспоминаем с

{\frac{\partial^{2} U}{\partial {Икс}^{2}} |}_{С} "=" - \frac{{\frac{\partial^{2} С}{\partial {Икс}^{2}} |}_{U}}{{\frac{\partial С}{\partial U} |}_{Икс}} "=" - Т {\frac{\partial^{2} С}{\partial {Икс}^{2}} |}_{U},

$\left.\frac{\partial^2{U}}{\partial{X}^2}\right|_S = -\frac{\left.\frac{\partial^2{S}}{\partial{X}^2}\right|_U}{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X}= -T\left.\frac{\partial^2{S}}{\partial{X}^2}\right|_U,$ положительна, если экстремум

S

$S$ является максимумом.

Я бы добавил, что аналогичная двойственность макс/мин имеет место для соответствующих преобразований Лежандра энергии/энтропии. Например (хотя и почти тривиально), принцип минимума свободной энергии Гельмгольца будет соответствовать максимуму преобразования Лежандра энтропии по отношению к энергии, $\tilde S(1/T,V,N) = S -\frac{U}{T}$ .

Мэтт · Answer 2

Мэтт

Замкнутая система останется с той же энергией, а ее энтропия, как вы сказали, возрастет до максимума. Таким образом, максимальная энтропия — это минимальная свободная энергия, но это не повлияет на общую энергию.

Халкстер

ХОРОШО. Итак, если система может взаимодействовать с окружающей средой, то она будет рассеивать свободную внутреннюю энергию, чтобы получить состояние с минимальной энергией?

Мэтт

@Hulkster Ну, я думаю, это верно даже для нетермодинамических систем.

Дэвид Уайт

@Hulkster, состояние энтропии вашей системы что-то говорит о том, как распределяется энергия этой системы. Если энергия распределена равномерно, даже для системы с высокой энергией энергия недоступна для работы. По сути, тепловому двигателю нужна РАЗНИЦА температур (неравномерно распределенная энергия), чтобы совершать работу.

Мэтт

@DavidWhite Не могу не согласиться.

Макс. Энтропия = Мин. Энергия?

Халкстер

любопытный разум

Халкстер

любопытный разум

Ответы (2)

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Халкстер

Мэтт

Халкстер

Мэтт

Дэвид Уайт

Мэтт

Константа Демона Максвелла (информационно-энергетическая эквивалентность)

Почему ограничение при максимизации энтропии связано с энергией, а не с импульсом?

Попытка интуитивно понять, как температура связана с энтропией

Почему люди любят нарушать второй закон термодинамики? [закрыто]

Проблема с осмыслением «температуры» колоды карт.

Энтропия как стрела времени

Соединение тепла и статистических определений энтропии

Какая концепция расширяет связь между энтропией и преобразованием энергии?

Какая связь между энергией, энтропией и информацией?

Где тот критический момент, когда микроканонический ансамбль вступает в обоснование состояния равновесия?