Попытка интуитивно понять, как температура связана с энтропией

Question

Попытка интуитивно понять, как температура связана с энтропией

михирб

Фон

Я изучал определение температуры и то, как она связана с энтропией и внутренней энергией, и наткнулся на этот ответ на StackExchange.

Согласно ответу:

[Температура есть] дифференциальное соотношение между внутренней энергией и энтропией:
$\begin{aligned} г U & "=" Т г С + \dots \\ \frac{\partial С}{\partial U} & "=" \frac{1}{Т} \end{aligned}$ $\begin{align} dU &= T\,dS + \cdots \\ \frac{\partial S}{\partial U} &= \frac 1T \end{align}$ Когда к системе добавляется энергия, ее внутренняя энтропия изменяется.

Это означает, что низкая температура означает, что данное изменение внутренней энергии $U$ приводит к большому изменению энтропии $S$ системы и что высокая температура означает, что данное изменение внутренней энергии приводит к небольшому изменению энтропии системы.

Теперь энтропия, по сути, является мерой количества состояний системы (которое, скажем, ящик с молекулами газа будет размером множества возможных положений и скоростей для всех молекул газа). Для газа с низкой температурой распределение Максвелла-Больцмана для скорости менее разбросано, чем распределение для того же газа с высокой температурой, как показано на этом рисунке:

Поскольку энтропия распределения вероятностей измеряет количество состояний, я предполагаю, что более рассредоточенное распределение будет иметь более высокую энтропию, поскольку состояний больше, потому что распределение распространяется на большее их количество.

Теперь, согласно определению температуры в ответе, это означает, что данное изменение внутренней энергии низкотемпературного ящика газа привело бы к большему изменению разброса распределения скоростей (энтропии), чем такое же изменение внутренней энергия будет на разброс (энтропию) распределения скоростей высокотемпературного ящика газа.

Вопрос

Я правильно понимаю, что большое против маленького? $\partial S / \partial U$ (маленькое против большого $T$ ) представляет с точки зрения статистических распределений (в частности, верна ли моя интерпретация энтропии)? Если нет, то как я могу думать об энтропии распределения Максвелла-Больцмана в терминах графика распределения?

Прав я или нет, но есть ли какая-то интуиция, почему на разброс (энтропию) низкотемпературного распределения больше влияет изменение внутренней энергии, чем на разброс (энтропию) высокотемпературного распределения?

Подводя итог, я спрашиваю:

Почему имеет смысл, что низкие температуры соответствуют высоким? $\partial S / \partial U$ а высокие температуры соответствуют низким $\partial S / \partial U$ и есть ли способ подумать об этом, глядя на форму распределения Максвелла-Больцмана в случае ящика с газом?

Ответы (2)

Попытка интуитивно понять, как температура связана с энтропией

хзкхиз · Answer 1

Энтропия на самом деле не является мерой количества состояний. Представьте игральную кость, которая выбрасывает только числа. $1$ и $2$ . В нем есть $6$ лица, конечно, но другие $4$ невозможны. Чем эта игральная кость отличается от монеты? Что, если вероятность другого $4$ грани ненулевые, но очень маленькие (скажем, $0.00001$ %), не будет ли энтропия по-прежнему очень похожа на монету?

Чтобы относиться к вашему вопросу, на низком уровне $T$ , у вас есть такое же количество состояний, но доступны лишь очень немногие. Энтропия системы с очень небольшим количеством возможных состояний, скажем, монеты, мала. Теперь давайте возьмем очень-очень высокую температуру. Чтобы смоделировать это, мы скажем, что частицы распределены в широком диапазоне скоростей, и распределение довольно плоское (равномерное), мы можем думать о нем как о равномерном распределении со многими возможными состояниями. Более рассредоточенное распределение действительно означает более высокую энтропию. Переход к еще более высокой температуре заставляет его растекаться лишь немного больше , в то время как переход от почти $0$ к немного более высокой температуре заставляет его распространяться много.

Чтобы убедиться в этом, вы можете взглянуть на определение энтропии, $𝑆=−\sum p\ln p$ . Для равномерного распределения все $p$ идентичны и равны $1/N$ . Таким образом, $S = -\ln(1/𝑁)= \ln(N)$ , поэтому производная по размеру имеет вид $1/N$ . Когда у вас очень мало «доступных» состояний, производная велика, а когда их много, производная мала. Количество доступных состояний $N$ пропорциональна энергии, поэтому эта производная подобна наклону, соответствующему обратной температуре $1/T$ .

Можете ли вы подробнее объяснить, почему, когда температура уже высока, переход к еще более высокой температуре лишь немного расширяет распределение, тогда как при низкой температуре оно сильно расширяется?
Вы можете посмотреть определение энтропии, $S = -\Sigma p\ln p$ . Для равномерного распределения все $p$ одинаковы и равны 1/N. Таким образом, $S = -ln(1/N) = ln(N)$ , поэтому производная по размеру имеет вид $1/N$ . Когда у вас очень мало «доступных» состояний, производная велика, а когда их много, производная мала. Количество доступных состояний $N$ пропорциональна энергии, поэтому эта производная подобна наклону, соответствующему обратной температуре.
Я понимаю. Таким образом, при низкой внутренней энергии / температуре меньше доступных состояний, что означает $N$ мало, это означает производную от $S$ что равно $1/N$ большой. Эта производная в основном является обратной температурой $1/T$ что означает, что большая производная соответствует более низкой температуре. Подводя итог: низкая внутренняя энергия <==> меньше доступных состояний <==> низкая температура. Это правильная интерпретация?

Веркассивелаунос · Answer 2

Имейте в виду, что энтропия — это логарифм числа состояний. Переход от одного возможного состояния к десяти приводит к такому же увеличению энтропии, как и переход от десяти к сотне. Предположим, совершенно неверно, но просто для иллюстрации, что увеличение энергии на фиксированную величину приводит к добавлению фиксированного количества возможных состояний. Тогда энтропия будет только возрастать пропорционально логарифму энергии, поэтому $\partial S/\partial U\sim 1/U$ , и, таким образом, температура будет пропорциональна $U$ .

Как правило, высокая энергия означает высокую температуру, если число возможных состояний (или разброс распределения, если хотите) растет медленнее, чем экспоненциально, с ростом энергии.

Попытка интуитивно понять, как температура связана с энтропией

михирб

Ответы (2)

хзкхиз

михирб

хзкхиз

михирб

Веркассивелаунос

Проблема с осмыслением «температуры» колоды карт.

Термодинамическое определение энтропии, описывающее обратимые процессы

Как понять температуры разных степеней свободы?

Всегда ли энтропия увеличивается с температурой? [дубликат]

Константа Демона Максвелла (информационно-энергетическая эквивалентность)

Как я могу выразить энергетическую зависимость распределения Максвелла-Больцмана?

Третий закон термодинамики и энтропия

Макс. Энтропия = Мин. Энергия?

Как увеличивается недостаток информации при повышении температуры?

Почему S=kBlnWS=kBln⁡WS = k_B \ln W не всегда применимо?