Математическая формулировка частичного коллапса волновой функции

Если задана волновая функция, являющаяся элементом гильбертова пространства ЧАС которое является тензорным произведением двух других гильбертовых пространств ЧАС 1 ⊗ ЧАС 2 , как сформулировать измерение функции в одном из подпространств, т.е. ЧАС 1 ?

Например, у вас есть система | ψ ⟩ который состоит из двух кубитов | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ . Система совершает унитарную операцию, давая | ψ ′ ⟩ "=" U | ψ ⟩ . Должна быть возможность измерить только один из двух кубитов, что приведет к частичному коллапсу системы.

Если два кубита не запутались после U , то их можно разделить как | ψ ′ ⟩ "=" | ψ 1 ′ ⟩ ⊗ | ψ 2 ′ ⟩ . Кажется очевидным, что измерение ie | ψ 1 ′ ⟩ не должно вызывать | ψ 2 ′ ⟩ коллапс.

Если кубиты частично запутаны, возможно, что один из кубитов находится в какой-то суперпозиции. Например, если | ψ ′ ⟩ "=" | 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 11 ⟩ 3 , затем | ψ 2 ′ ⟩ состояние зависит от того, что | ψ 1 ′ ⟩ рушится к. Если | ψ 1 ′ ⟩ → | 0 ⟩ , то мог | ψ 2 ′ ⟩ все еще находиться в суперпозиции, а именно | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 2 ?

Чтобы быть более конкретным в части "формулировки" моего вопроса, вы можете использовать, например | ⟨ 0 ∣ ψ 1 ′ ⟩ | 2 найти вероятность того, что | ψ 1 ′ ⟩ рушится до | 0 ⟩ , предполагая нормализованную волновую функцию. Каким будет формат, например, для измерения одного кубита | ψ ′ ⟩ ? Было бы что-то вроде ( ⟨ 0 | ⊗ ⟨ ψ 2 ′ | ) | ψ ′ ⟩ ?

Некоторое понимание, которое я изучаю: ожидаемое значение оператора О дан кем-то ⟨ ψ ∣ О ∣ ψ ⟩ . Когда О является проекционным оператором, таким как | 0 ⟩ ⟨ 0 | (который проецируется на | 0 ⟩ -базис), ожидаемое значение — это вероятность того, что измерение даст этот конкретный результат. Так что, возможно, частичное измерение системы включает проекцию на некоторое подпространство, охватываемое несколькими базисными состояниями?

Да, ваша интуиция верна. Вы можете использовать эти «частичные» скалярные произведения. Поскольку обозначения могут сбивать с толку, я предлагаю вам добавить нижний индекс, например, А ⟨ х | ψ ⟩ А Б если вы измеряете систему А .

Ответы (1)

В общем, такой «частичный коллапс» волновой функции нельзя выразить в виде обычного скалярного произведения (т. е. с помощью ⟨ 0 ∣ ψ ⟩ ). Вместо этого вы должны использовать ожидаемое значение соответствующего оператора проекции. Это работает для «полного коллапса» в одно базисное состояние, поскольку соответствующий оператор проекции является просто внешним произведением базиса на самого себя ( | 0 ⟩ ⟨ 0 | ).

Доказательство:

Используя пример, который я привел выше, пусть п быть оператором, который проецирует первый кубит на | 0 ⟩ . Это может быть представлено матрицей [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] . Предположим, что существует некоторое базисное состояние | Б ⟩ который представляет | ψ 1 ′ ⟩ "=" | 0 ⟩ пока | ψ 2 ′ ⟩ не затронут. п тогда можно записать как | Б ⟩ ⟨ Б | . Если | Б ⟩ задается матрицей [ Икс у г ш ] , затем | Б ⟩ ⟨ Б | "=" [ Икс Икс * Икс у * Икс г * Икс ш * у Икс * у у * у г * у ш * г Икс * г у * г г * г ш * ш Икс * ш у * ш г * ш ш * ] . Приравнивание к предыдущей матрице дает следующие уравнения:

  • г "=" ш "=" 0
  • | Икс | 2 "=" | у | 2 "=" 1
  • Икс у * "=" Икс * у "=" 0

Который не имеет решения. Поэтому, | Б ⟩ не существует.

Это означает, что вероятность измерения части системы должна быть выражена с помощью ожидания оператора, ⟨ ψ ∣ п ∣ ψ ⟩ .

Однако возможно для п выразить в виде суммы внешних произведений. В этом случае, п "=" | 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 01 ⟩ ⟨ 01 | . Это можно обобщить как сумму проекций на каждый базис подпространства.

Конечно, вы можете расширить его как сумму перекрывающихся квадратов.
Математическая формулировка частичного коллапса волновой функции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v