Может ли кто-нибудь предоставить математическое доказательство того, что чистая приведенная стоимость всегда отрицательна, когда норма прибыли меньше ставки дисконтирования? То есть предположим, что у нас есть
Как я это вижу, аргумент будет примерно таким:
NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t )
= -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )
... then some magic happens, then ...
< 0
Но как добраться от начала до конца, я не знаю.
Как ни странно, я вижу это так: поскольку r < rd и оба числа будут экспоненциально сокращаться со временем, никогда не будет периода, когда возвращаемый денежный поток будет больше, чем доход, который вы могли бы получить, инвестируя по ставке дисконтирования rd, таким образом, NPV < 0 (и даже если это неправильный способ думать об этом, пожалуйста, дайте мне знать).
По сути, требуется доказательство того, что чистая приведенная стоимость всегда < 0, если доходность инвестиций меньше ставки дисконтирования для всех периодов.
Был бы признателен за доказательство и объяснение (или даже объяснение того, почему это может быть попытка доказать что-то, что не обязательно верно). Спасибо.
Внутренняя норма доходности – это значение, rкоторое удовлетворяет уравнению
0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n
Чистая приведенная стоимость (NPV) представляет собой сумму дисконтированных денежных потоков:
NPV = C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n
Так как rd > rпри t = 1, ..., n, имеем простые неравенства:
(1 + rd) > (1 + r)
(1 + rd)^t > (1 + r)^t
Обратное меняет направление неравенства:
1 / (1 + rd)^t < 1 / (1 + r)^t
Поскольку вливания наличных денег являются отрицательным денежным потоком, C0 < 0. Но предположительно Ct > 0для всех последующих периодов времени (т.е. для t = 1, ..., n). Таким образом, умножение приведенного выше неравенства на положительную величину Ctсохраняет направление неравенства:
Ct / (1 + rd)^t < Ct / (1 + r)^t
Теперь, глядя на сумму почленно,
0 = C0 + C1 / (1 + r) + C2 / (1 + r)^2 + ... + Cn / (1 + r)^n
> C0 + C1 / (1 + rd) + C2 / (1 + rd)^2 + ... + Cn / (1 + rd)^n = NPV
Это показывает, что если бы мы оценили денежный поток (с первоначальными инвестициями, за которыми следуют положительные денежные потоки), используя ставку дисконтирования, которая выше, чем норма прибыли, то чистая приведенная стоимость была бы отрицательной.
Предполагая, что вторая строка должна быть исправлена на:
NPV = -C0 + summ( Ct / (1+rd)^t ) = -C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )
Мы можем продолжить:
= -C0 + summ( (r/(1+rd)^t *C0 )
Итак, очевидно, что нас интересует:
summ( (r/(1+rd))^t )
обязательно < 1? Все члены в сумме положительны, поэтому максимальное значение суммы получается, если мы суммируем до бесконечности. Учитывая, что r < 1+rd, мы знаем, что (r/(1+rd))< 1, поэтому сумма до бесконечности имеет конечное значение. В частности, сумма до бесконечности равна:
1
------------ - 1
1 - r/(1+rd)
Умножим верх и низ дроби на 1+rd1 и расширим
1 + rd 1 + rd - r
---------- - ----------
1 + rd - r 1 + rd - r
Упрощать:
r
----------
1 + rd - r
Мне кажется, что оно может быть больше 1. Если rd == 5, r = 4, то выражение сводится к 4/2 == 2, что означает, что NPV больше нуля.
Мне кажется, что это неправильно (но, если повезет, кто-нибудь может указать на мою ошибку)
Мартин Боннер поддерживает Монику
-C0 + summ( (r^t*C0) / (1+rd)^t )- другими словами C0, а не CtлампаАжурыСкиталец