Матрицы Паули и двумерные операторы вращения?

Ну это банально. Настоящий$2D$вращения, рассматриваемые как матрицы в$\mathbb R^2$или$\mathbb C^2$все в форме

$$R(\theta)= e^{\theta i\sigma_2}\:.$$ (Заметить, что $i\sigma_2$действительно антисимметричен, как и должно быть, он является генератором $so(2)$.) Более того, из спектрального разложения в $\mathbb C^2$, $e^{\theta i\sigma_2}$имеет те же собственные векторы, что и $\sigma_2$.

Чтобы ответить на часть общего размера, если это не очевидно из ответа Вальтера:

В измерениях D матрица вращения является экспонентой угла θ , умноженной на матрицу K , нормализованного генератора соответствующей группы вращения SO( D ) вокруг некоторой единичной оси D -вектора k , в векторном представлении, поэтому матрица D ×Д . Собственные векторы этих матриц K также будут собственными векторами оператора вращения.

Однако, поскольку существует несколько (бесконечность) осей вращения для D > 2, будет бесконечность наборов собственных векторов, каждый из которых характеризуется определенной матрицей спина K .

Например, в векторном представлении D = 3 матрица вращения задается как эта экспонента матрицы перекрестного произведения

$$\mathbf{K}= \left[\begin{array}{ccc} 0 & -k_3 & k_2 \\ k_3 & 0 & -k_1 \\ -k_2 & k_1 & 0 \end{array}\right],$$ тривиально расширяется формулой Родригеса до просто $\mathbf{R} = \mathbf{I} + (\sin\theta) \mathbf{K} + (1-\cos\theta)\mathbf{K}^2 ~$. Таким образом, три собственных вектора K (один из которых является нулевым вектором k ) также являются собственными векторами R .