Метрика Шварцшильда в изотропных координатах

Цель изотропных координат состоит в том, чтобы записать метрику в виде, где пространственноподобные срезы максимально приближены к евклидовым. То есть пробуем записать метрику в виде:

$$ds^2 = -A^2(r)dt^2 + B^2(r)d\Sigma^2$$

где$d\Sigma^2$является евклидовой метрикой:

$$d\Sigma^2 = dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Итак, воспользуемся заменой$r\rightarrow r'$и запишем нашу метрику:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r'}\right)dt^2 + B^2(r')\left(dr'^2 + r'^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)\right)$$

Если мы сравним это с метрикой Шварцшильда:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2M/r} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Тогда, чтобы угловые части были равны, мы должны иметь:

$$B^2(r')r'^2 = r^2$$

И чтобы радиальные части были равны, мы должны иметь:

$$B^2(r')dr'^2 = \frac{dr^2}{1 - 2M/r}$$

Разделите второе уравнение на первое, чтобы исключить$B$и в итоге получаем:

$$\frac{dr'^2}{r'^2} = \frac{dr^2}{r^2 - 2Mr}$$

А затем просто возьмите квадратный корень и проинтегрируйте, и мы получим замену, которую вы описываете:

$$r = r'\left(1 + \frac{M}{2r'}\right)^2$$