раствор Шварцшильда

Я считаю в течение многих часов, и я действительно запутался в этом упражнении.

Рассмотрим сопутствующего наблюдателя, сидящего в постоянных пространственных координатах.$(r∗,θ∗,φ*)$, вокруг шварцшильдовской черной дыры массы$M$. Наблюдатель сбрасывает маяк в черную дыру (прямо вниз, по радиальной траектории). Маяк излучает излучение с постоянной длиной волны$λ_{\mathrm{em}}$(в опорной рамке маяка).

Из книги Шютца я думаю, что «сопутствующее движение» может быть неправильным, потому что это верно только тогда, когда объект летит по геодезической, которая должна быть кругом, а это не гарантируется.

Метрика Шварцшильда:

$$ds^2=-(1-2M/r)dt^2+(1-2M/r)^{-1}dr^2+r^2d\Omega$$

Я пытался решить это таким образом:

В наблюдателях MCRF он имеет четыре скорости:

$$U_{\operatorname{obs}}=\vec{(1,0,0,0)}$$

Теперь вычисляем энергию объекта наблюдателем:

$$E/m=\bar{E}=-U_{\mu}^PU^{\mu}_{\operatorname{obs}}=-U_{0}^P$$

с$U^p$скорость объектов, измеряемая наблюдателем. Затем мы нашли

$$U_{0}^P=-g^{00}\bar{E}=\dot{t}$$

Последнее приравнивание можно показать относительно собственного времени.

Другой компонент следует из:

$$U_{\mu}^PU^{\mu}_P=-1$$

Из этого уравнения можно вычислить:

$$(U^r)^2=-(1-2G/R)+\bar{E}$$ что-то вроде того…

Но теперь у меня есть вопрос.

Я нахожусь в MCRF наблюдателя, следовательно, локальная начальная система с плоской метрикой. Но я использовал в этом пункте метрику Шварцшильда, а не метрику Минковского. Я думал, что вы можете это сделать, потому что метрика Шварцшильда действует там в каждой точке. И когда вы используете Минковский, вы получаете, что скорость достигает бесконечности.$r =2M$и это неправильно.