Масса Комара для вращающейся черной дыры

Question

Масса Комара для вращающейся черной дыры

старшекурсник

Я пытаюсь рассчитать сохраняющиеся величины Комара для черной дыры с векторами Киллинга.

Я следовал стандартной процедуре и рассчитал массу Комара для черной дыры Рейснера-Нордстрема (см. прикрепленный файл).

Но не удалось рассчитать то же самое для черной дыры Керра-Ньюмана. Хотя в этой статье расчет производится методом двойной формы. Пожалуйста, предоставьте свое предложение.

ф (р) "=" 1 - \frac{2 М}{р} + \frac{{Вопрос}^{2}}{р^{2}}

$f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$ Комар Масс

M_{K}

$M_K$ дан кем-то:

М_{К} "=" \frac{1}{8 π} \oint \nabla_{мю} к_{ν} д с^{мю ν}

$M_K=\frac{1}{8\pi}\oint\nabla_{\mu} k_{\nu} ds^{\mu\nu}$

к^{мю} "=" [1, 0, 0, 0]

$k^{\mu}=[1, 0, 0, 0]$

к_{ν} "=" [ф (р), 0, 0, 0]

$k_{\nu}=[f(r), 0, 0, 0]$ Потому что на свободе

r

$r$ ,

T

$T$ квартира Минковского,

\nabla_{мю} к_{ν} \to \partial_{мю} к_{ν}

$\nabla_\mu k_{\nu}\rightarrow\partial_\mu k_\nu$

\begin{aligned} \partial_{мю} к_{ν} & "=" \partial_{р} ф (р) \\ "=" (\frac{\partial М}{р^{2}} - \frac{2 {Вопрос}^{2}}{р^{3}}) \end{aligned}

$\begin{align} \\\partial_\mu k_\nu&=\partial_rf(r) \\&=\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg) \end{align}$

\begin{aligned} М_{К} & "=" \frac{1}{8 π} \int (\frac{\partial М}{р^{2}} - \frac{2 {Вопрос}^{2}}{р^{3}}) \sqrt{г_{θ θ} г_{ф ф}} д θ д ф \\ "=" \frac{1}{8 π} \int (\frac{\partial М}{р^{2}} - \frac{2 {Вопрос}^{2}}{р^{3}}) р^{2} грех θ д θ д ф \\ "=" \frac{1}{8 π} \int_{0}^{π} (\partial М - \frac{2 {Вопрос}^{2}}{р}) 2 π грех θ д θ \\ "=" М - \frac{{Вопрос}^{2}}{р} \end{aligned}

$\begin{align} \\M_K&=\frac{1}{8\pi}\int\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg)\sqrt{g_{\theta\theta}g_{\phi\phi}}\ d\theta\ d\phi \\&=\frac{1}{8\pi}\int\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg)r^2\sin\theta\ d\theta\ d\phi \\&=\frac{1}{8\pi}\int^\pi_0\bigg(\partial M-\frac{2Q^2}{r}\bigg)2\pi\sin\theta\ d\theta \\&=M-\frac{Q^2}{r} \end{align}$

ТимРиас

Можете ли вы объяснить, где вы застряли с Керр-Ньюман? Вы пробовали простой случай Керра?

Ответы (1)

Масса Комара для вращающейся черной дыры

Можете ли вы объяснить, где вы застряли с Керр-Ньюман? Вы пробовали простой случай Керра?

Ярослав Шустров · Answer 1

Я хотел бы разделить свой ответ на 3 части. Несмотря на то, что я не собираюсь приводить явный расчет массы Комара для интересующего нас случая (из-за его значительного объема), я представлю (на что я надеюсь) полезные подсказки и наводки.

Часть I: Еще одно определение сохраненных количеств Комара

Представленная вами статья определяет сохраняющиеся величины Комара в терминах дифференциальных форм, которые я буду обсуждать в частях II и III этого ответа.

То же самое можно записать и с помощью индексной записи. Это определение можно найти в параграфе 6.4 книги Шона Кэрролла « Пространство-время и геометрия ». В этом абзаце хорошо то, что можно также найти явное использование этого подхода для черной дыры Шварцшильда.

Применение этого подхода к черной дыре Керра-Ньюмана, по-видимому, следует точно таким же шагам. Я должен признать, что у меня не было достаточно времени, чтобы прийти к окончательному ответу из-за длины вычислений. Тем не менее, сами расчеты не так уж сложны. Просто много производных.

\begin{matrix} (1) & Е_{р} "=" \frac{1}{4 π г} \int_{\partial С} г^{2} Икс \sqrt{γ^{(2)}} \cdot н_{мю} о_{ν} \nabla^{мю} К^{ν}, \end{matrix}

$E_{R} = \frac{1}{4\pi G} \int_{ \partial S} d^2 x \sqrt{\gamma^{(2)}}\cdot n_{\mu} \sigma_{\nu} \nabla^{\mu} K^{\nu} \tag{1} \,,$ где:

$S$ представляет собой трехмерный квант постоянного времени;
$n_{\mu}$ — единичный вектор, ортогональный ему;
$\partial S$ является границей $S$ ;
$\sigma_{\mu}$ — единичный вектор, ортогональный этой границе (в нашем случае это пространственноподобный вектор, смотрящий в радиальном направлении);
$\gamma^{(2)}$ является индуцированной метрикой на $\partial S .$

Часть II: Эквивалентность двух определений

Обратите внимание, что разные источники определяют сохраняющиеся величины Комара с разными числовыми коэффициентами перед интегралом. Я буду говорить об эквивалентности определений до этого коэффициента. Есть также небольшие различия в обозначениях для разных формул. И все же я хотел сохранить их такими, какими они были представлены в источниках.

Вышеупомянутая статья дает следующее определение сохраняемых количеств Комара:

\begin{matrix} (2) & К_{ξ_{(т)}^{мю}} "=" - \frac{1}{8 π} \int_{\partial С} * г о, \end{matrix}

$K_{\xi^{\mu}_{(t)}} = -\frac{1}{8 \pi} \int_{\partial S} * \mathrm{d}\sigma \tag{2} \,,$ где:

$\sigma = \xi_{ (t) \mu} \mathrm{d}x^{\mu}$ является тайм-киллером одной формы;
$\xi_{ (t)}^{ \mu}$ Вектор Киллинга соответствует сдвигу во времени.

Прежде чем углубляться в подробности расчета массы Комара по этой формуле, настоятельно рекомендую доказать эквивалентность (1) и (2). Вот несколько полезных советов.

Сначала вы можете просмотреть Приложение E к книге Шона Кэрролла « Пространство-время и геометрия ». Выведенная там теорема Стока позволяет показать эквивалентность (1) и следующего выражения:

\begin{matrix} (3) & {Вопрос}_{С} "=" - \int_{С} * Дж \end{matrix}

$Q_{S} = -\int_{S} * J \tag{3} \,$ где

J

$J$ - бездивергентный ток, соответствующий векторам Киллинга

{Дж}_{р}^{мю} "=" К_{ν} р^{мю ν} "=" \nabla_{ν} \nabla^{мю} К^{ν}

$J^{\mu}_R = K_{\nu} R^{\mu \nu} = \nabla_{\nu} \nabla^{\mu} K^{\nu}$ второе равенство исходит из уравнения Киллинга, и

R^{μ ν}

$R^{\mu \nu}$ является тензором Риччи.

Теперь (3) и (2) эквивалентны (с точностью до константы), пока выполняется следующее выражение (используйте теорему Стока, чтобы получить его):

\frac{1}{2} д (* д о) "=" * Дж .

$\frac{1}{2} \mathrm{d}(*\mathrm{d}\sigma) = *J \,.$

Самый простой способ (по крайней мере для меня) показать, что это действительно так, — явно записать обе части в координатной записи и тщательно их сравнить. Попутно вам может пригодиться этот сайт , стр. 21 этого руководства и «Внешняя производная» , Википедия.

Часть III: Заметки о подходе из статьи

Если однажды вам удалось пройтись по расчетам из части II, вам будет намного проще следовать подходу из статьи . Правда, они представляют собой только явный расчет $J_{\text{eff}} .$ Тем не менее, если у вас есть доступ к статье JM Cohen, F. De Felice, J. Math. физ. 25, 992 (1984), можно видеть, что используется точно такой же подход.

Поскольку я не знаю, какие шаги необходимо проработать, я возьму на себя полную свободу действий. Если чего-то не хватает, я могу отредактировать этот пост позже.

С моей точки зрения, одной необъяснимой вещью было изменение основы 1-форм с $\mathrm{d}t, \, \mathrm{d}r, \, \mathrm{d}\theta, \, \mathrm{d}\phi$ к $\mathrm{d}\hat{\chi}_0 \dots \mathrm{d}\hat{\chi}_3 .$ Причина следующая. Исходный базис 1-форм не ортогонален (метрика имеет недиагональные члены). Как только мы перейдем к ортонормированному базису, станет намного проще написать явное выражение для звездчатого оператора Ходжа.

Все остальное вроде бы более-менее понятно, по крайней мере, после всех тренировок из части II.

Надеюсь, эта информация поможет. Если что-то неясно или отсутствует, пожалуйста, дайте мне знать.

Кстати, ваш подход к черной дыре Рейсснера-Нордстрема кажется эквивалентным (1) определению из моего ответа. Не знаю, что у вас с ним пошло не так. Надеюсь, глава из Кэрролла может прояснить некоторые вещи.

Масса Комара для вращающейся черной дыры

старшекурсник

ТимРиас

Ответы (1)

Ярослав Шустров

Часть I: Еще одно определение сохраненных количеств Комара

Часть II: Эквивалентность двух определений

Часть III: Заметки о подходе из статьи

Ярослав Шустров

Свободно падающий наблюдатель в метрике Шварцшильда

Метрика Шварцшильда в изотропных координатах

Рассчитайте массу черной дыры Шварцшильда с помощью интеграла Комара [закрыто]

Выражение в замкнутой форме для положения как функции времени объекта, падающего прямо в черную дыру из бесконечности

Нахождение метрики де-Ситтера Шварцшильда

Общая теория относительности Вальда, раздел 6.3, стр. 144

Кривизна света вокруг черной дыры [дубликат]

Откуда мы знаем, что решение Шварцшильда содержит объект массы МММ?

раствор Шварцшильда

(Почему) необходимо вызывать ньютоновскую гравитацию, чтобы исправить константы нормализации в общей теории относительности?