В ОТО Вальда интеграл Комара равен уравнению. (11.2.9):
М= -18 π∫Сϵа б в г∇сξг
С
можно выбрать 2-сферу, границу пространственноподобной гиперповерхностиΣ
такой, что времениподобный вектор Киллингаξа= (∂т)а
нормально дляΣ
. Здесь система координат соответствует следующей метрике
гс2= - ( 1 - 2 М/ р)дт2+ ( 1 - 2 М/ р)− 1гр2+р2( дθ2+грех2θ дф2)
Следовательно, элемент объемаϵа б в г"="р2грехθ ( дт)а∧ ( др)б∧ ( дθ)с∧ ( дф)г
и поэтому,
М= -18 π∫Ср2грехθ ( дт)а∧ ( др)б∧ ( дθ)с∧ ( дф)г∇с(∂т)г"="18 π∫р2грехθ∇р(∂т)тгθ дф
Здесь,∇р(∂т)т"="гр рГтр т= М/р2
. Вы можете проверить GR Шона Кэрролла, чтобы найти символы Кристоффеля.
Затем,М"="18 π∫Мгрехθ дθ дф = М/ 2
, противоречие. Что не так с моим расчетом?
Дэймон Блевинс