Мгновенный угловой момент диска

Из вашего описания я предполагаю, что диск только только перемещается, а не вращается. Это верно? Если это так, читайте дальше. Если нет, то удалю.

Мне не нравится первый метод, который использует$L=I\omega$. В этом уравнении предполагается, что каждая точка твердого тела может характеризоваться одной и той же угловой скоростью$\omega$. Судя по вашему описанию движения диска, здесь это не применимо. Диск только перемещается, а не вращается вокруг точки; таким образом, каждая точка будет иметь разную угловую скорость. У меня нет проблем с вашим выражением момента инерции$I$, но это было бы применимо только в том случае, если бы объект вращался вокруг точки на его краю.

Я верю вашему второму методу$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}$делает предположение, что объект является точечной частицей. Вы можете видеть это, потому что вы рассматриваете каждую точку тела как характеризуемую одним и тем же вектором положения.$\vec{r}$. Это может или не может привести к правильному ответу. Как заявил другой постер, форма, которую вы хотите использовать,$L=\int \vec{r}\times d\vec{p} = \int_A \vec{r} \times \sigma \vec{v}\ dA$, где я использовал двумерный интеграл, поскольку вы рассматриваете диск как двумерный. Термин$\sigma$- двумерная поверхностная массовая плотность$m/(\pi R^2)$. Давайте продолжим с этим интегралом, чтобы увидеть, куда он ведет.

$$L=\sigma\int_A \vec{r} \times \vec{v} \ dA = \sigma\int_A (\vec{r}_{CM} + \vec{r}_{body}) \times \vec{v} \ dA = \sigma\int_A \vec{r}_{CM} \times \vec{v} \ dA + \sigma\int_A \vec{r}_{body} \times \vec{v} \ dA$$ Я разделил вектор положения $\vec{r}$в сумму вектора к центру масс и вектора из центра масс в общую точку на теле. $$L = \sigma\int_A \vec{r}_{CM} \times \vec{v} \ dA + \sigma \underbrace{\int_A \vec{r}_{body} \times \vec{v} \ dA}_{=0?} \stackrel{?}{=} \sigma A \vec{r}_{CM}\times \vec{v}$$ Я считаю, что интеграл с подкосом равен нулю по симметрии. (Кто-то хочет присоединиться?) Если да, то этот метод дает второй результат.

Первый способ правильный.

Второй метод неверен, потому что уравнение, которое вы используете, применимо только к точечным частицам, а не к непрерывным массам с объемом (таким как диск). Вы неправильно рассматриваете диск как точечную частицу, расположенную в центре диска. Если вы хотите использовать второй метод, вам нужно использовать это уравнение для углового момента непрерывных масс:

$\vec{L} = \int_V dV \, \vec{r} \times \rho(\vec{r})\vec{v}$

Случай а)

Тело с равномерным движением (без вращения), где С — центр диска, а А — точка на краю (например, внизу, на расстоянии$R$).

$$\begin{aligned} \vec{v}_A & = (v,0,0) \\ \vec{\omega} & = (0,0,0) \\ \vec{v}_C & = \vec{v}_A + (0,-R,0) \times \vec{\omega} = (v,0,0) \\ \vec{L} & = m \vec{v}_C = (m v,0,0) \\ \vec{H}_A & = I \vec{\omega} + (0,-R,0)\times \vec{L} = (0,0,R m v) \\ \end{aligned}$$

Где$\vec{L}$является линейным и$\vec{H}_A$- угловой момент относительно точки A .

Случай б)

Качение тела с краевой точкой А неподвижно, но с частотой вращения$\Omega$

$$\begin{aligned} \vec{v}_A & = (0,0,0) \\ \vec{\omega} & = (0,0,\Omega) \\ \vec{v}_C & = \vec{v}_A + (0,-R,0) \times \vec{\omega} = (\Omega R,0,0) \\ \vec{L} & = m \vec{v}_C = (m \Omega R,0,0) \\ \vec{H}_A & = I \vec{\omega} + (0,-R,0)\times \vec{L} = (0,0,\Omega (I_C+m R^2)) \\ \end{aligned}$$

Угловой момент здесь использует теорему о параллельных осях, и он расширяется до ..

$$v_C = \frac{\Omega}{R} \\ I_C = \frac{m}{2} R^2$$

$$\begin{aligned} L & = (m v_C,0,0) \\ H_A & = \frac{3}{2} m v_C R \\ \end{aligned}$$

Итак, вы видите, что ваши два решения соответствуют двум разным проблемам.