Модель измерения фон Неймана кубита с непрерывным детектором

Question

Модель измерения фон Неймана кубита с непрерывным детектором

Физика
оператор плотности
квантовый компьютер
квантовая механика
квантовая информация

Парвин

У меня есть система кубитов с двумя состояниями с начальным состоянием $|\psi_s\rangle_i = a|0\rangle+b|1\rangle$ и детектор с начальным состоянием

| ψ_{г} ⟩_{я} "=" \int_{- \infty}^{\infty} {(Н опыт [- \frac{д^{2}}{2 о^{2}} + я к д])}^{\frac{1}{2}} | д ⟩ г д

$|\psi_d\rangle_i = \int_{-\infty}^{\infty}\left(N \exp[-\frac{q^2}{2\sigma^2}+ik q]\right)^{\frac{1}{2}}|q\rangle dq$ где

N

$N$ постоянная такая, что

| ψ_{d} ⟩_{i}

$|\psi_d\rangle_i$ является нормализованным состоянием. Комбинированное начальное состояние можно записать как

| ψ ⟩_{я} "=" | ψ_{с} ⟩_{я} | ψ_{г} ⟩_{я} .

$|\psi\rangle_i = |\psi_s\rangle_i |\psi_d\rangle_i \, .$ Гамильтониан взаимодействия

H / ℏ = - g (σ_{z} \otimes P)

$H/\hbar = -g (\sigma_z \otimes P)$ , где

P

$P$ является оператором импульса. Поэтому унитарный оператор, действующий на

| ψ ⟩_{i}

$|\psi\rangle_i$ является

U = \exp [i g T (σ_{z} \otimes P)]

$U=\exp[i g T (\sigma_z \otimes P)]$ . После взаимодействия состояние системы становится

| ψ ⟩_{Т} "=" U | ψ ⟩_{я} .

$|\psi \rangle_T = U|\psi\rangle_i \, .$ Модель измерения фон Неймана говорит, что мы должны выполнить проективное измерение на детекторе, а затем выполнить частичную трассировку по детектору, чтобы получить состояние системы после измерения.

Каким будет подходящий оператор измерения для проективного измерения над детектором?

ZeroTheHero

Вы можете найти то, что ищете, здесь: arxiv.org/abs/1711.00080 , например, vg Eq.(23).

Ответы (1)

Модель измерения фон Неймана кубита с непрерывным детектором

Вы можете найти то, что ищете, здесь: arxiv.org/abs/1711.00080 , например, vg Eq.(23).

ООО · Answer 1

По линейности,

U | ψ_{г} ⟩_{я} (а | 0 ⟩ + б | 1 ⟩) "=" а | ψ, 0 ⟩_{Т} + б | ψ, 1 ⟩_{Т}

$\begin{equation} U\vert\psi_d\rangle_i\Big(a\vert 0\rangle+b\vert 1\rangle\Big)=a\vert\psi, 0\rangle_T+b\vert\psi, 1\rangle_T \end{equation}$ где,

| ψ, о ⟩ "=" U | ψ_{г} ⟩_{я} | о ⟩

$\begin{equation} \vert\psi, \sigma\rangle=U\vert\psi_d\rangle_i\vert\sigma\rangle \end{equation}$ Итак, чтобы получить конечное состояние, нам нужно рассмотреть, как

U

$U$ действует, когда кубит находится в состоянии с определенным спином.

Когда вращение определено, вы можете заменить $\sigma_z$ с $\pm 1$ в зависимости от спина кубита. Но тогда оператор эволюции — это просто оператор сдвига для $q$ в том или ином направлении.

Начальное состояние детектора представляет собой гауссов волновой пакет, сосредоточенный около нуля. Мы можем обозначить это как,

| ψ_{г} ⟩_{я} "=" | д \approx 0 ⟩

$\begin{equation} \vert\psi_d\rangle_i=\vert q\approx 0\rangle \end{equation}$ Тогда результирующее состояние объединенной системы может быть записано как

а | д \approx - г Т ⟩ | 0 ⟩ + б | д \approx + г Т ⟩ | 1 ⟩

$\begin{equation} a\vert q\approx -gT\rangle\vert 0\rangle + b\vert q\approx +gT\rangle\vert 1\rangle \end{equation}$ Представь это

q

$q$ обозначает положение стрелки на циферблате вашего металлоискателя. Теперь это положение запутано, т.е. соотнесено со спином кубита. Т.е. все, что вам нужно, это измерить

q

$q$ . Простейшая наблюдаемая, которая даст вам только два возможных ответа, — это признак

q

$q$ - минус для

0

$0$ и положительный для

1

$1$ что можно записать как,

\hat{с г н (д)} "=" - \int_{- \infty}^{0} г д | д ⟩ ⟨ д | + \int_{0}^{+ \infty} г д | д ⟩ ⟨ д |

$\begin{equation} \widehat{\mathrm{sgn}(q)}=-\int\limits_{-\infty}^0dq\vert q\rangle\langle q\vert+\int\limits_0^{+\infty}dq\vert q\rangle\langle q\vert \end{equation}$

Однако обратите внимание, что

⟨ д \approx - г Т | д \approx + г Т ⟩ \neq 0

$\begin{equation} \langle q\approx -gT\vert q\approx+gT\rangle \neq 0 \end{equation}$ Это означает, что независимо от того, какую наблюдаемую вы измеряете для своего детектора, всегда будет ошибка в вашем измерении спина кубита. После трассировки детектора результирующая матрица плотности кубита не будет, скажем,

| 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\vert 0\rangle\langle 0\vert$ , но это будет только приближение. Чем больше

g T

$gT$ по сравнению с

σ

$\sigma$ лучше. Когда вы принимаете во внимание это ненулевое перекрытие с точки зрения кубита, ваше измерение не будет идеально проективным, а будет описываться формализмом POVM.

Спасибо за ваш ответ. Этот тип измерения известен как слабое измерение вместо проективного измерения. Теперь вопрос в том, какой у вас оператор измерения, который говорит о знаке состояния детектора. Как бы вы написали такой оператор измерения?
@Parveen Я думал, что это должно быть довольно очевидно, но ладно. Я добавил это. Надеюсь, вы сами сделаете расчеты влияния его измерения на матрицу плотности кубита.
@Parveen и обратите внимание, что я никогда не говорил о «признаке состояния детектора», а говорил о признаке $q$ что позволяет шине дифференцировать состояния детектора, связанные с состояниями кубита
@ONN: Спасибо за ответ. Теперь я понимаю, что вы пытаетесь сказать. После взаимодействия комбинированное состояние системы будет $| ψ ⟩_{я н т} "=" \int_{- \infty}^{\infty} а | 0 ⟩ {(Н опыт [\frac{- (д - г Т)^{2}}{2 о^{2}} - я к (д - г Т)])}^{1 / 2} | д ⟩ г д + \int_{- \infty}^{\infty} б | 1 ⟩ {(Н опыт [\frac{- (д + г Т)^{2}}{2 о^{2}} - я к (д + г Т)])}^{1 / 2} | д ⟩ г д$ $|\psi\rangle_{int} = \int_{-\infty}^{\infty} a|0\rangle \left(N \exp[\frac{-(q-gT)^2}{2\sigma^2}-i k(q-gT)]\right)^{1/2}|q\rangle dq + \int_{-\infty}^{\infty} b|1\rangle \left(N \exp[\frac{-(q+gT)^2}{2\sigma^2}-i k(q+gT)]\right)^{1/2}|q\rangle dq$ Теперь я все еще смущен тем, как бы оператор $sgn(q)$ будет действовать на указанное выше состояние детектора. Уточните, пожалуйста, и это. Я знаю, что это должно быть очень просто, но я новичок в этом.
@Parveen Меняет знак волновой функции на отрицательный $q$ и оставляет его таким же для положительного $q$ . Например, функция $\psi(q)=q$ станет $\psi(q)=|q|$ . Обратите внимание, что разрывы допускаются

Модель измерения фон Неймана кубита с непрерывным детектором

Парвин

ZeroTheHero

Ответы (1)

ООО

Парвин

ООО

ООО

Парвин

ООО

След операторной матрицы (квантовые вычисления и квантовая информация)

Система двух кубитов в полярных координатах

Квантовая телепортация атомных состояний, связанных с энергией [дубликат]

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Полезен ли квантовый отжиг?

Матрицы 2x2, которые не являются действительными квантовыми состояниями

Квантовая запутанность неразличимых частиц

Когда состояние вида ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|\rho=\sum_i p_i\lvert\psi_i\rangle\langle\psi_i\rvert может быть чистым состоянием?

Кажущийся парадоксом для гипотезы термализации собственных состояний (ETH)

Какова важность диагональной матрицы плотности после измерения/декогеренции?