Система двух кубитов в полярных координатах

Допустимым оператором плотности является любая эрмитова трасса 1, матрица (с комплексными элементами) и все собственные значения от 0 до 1. Таким образом, любая двухкубитная система может быть представлена ​​эрмитовой матрицей трассы 1 4x4.

Ваше представление кубита можно было бы переписать, более наводя на размышления, как:

$$\begin{align} \rho &= \frac{1}{2}\left(\operatorname{I} + a_1 \sigma_x + a_2 \sigma_y + a_3\sigma_z \right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\operatorname{I} + \vec{a} \cdot\vec{\sigma}\right) \end{align}$$

Где$\operatorname{I}$представляет собой единичную матрицу 2x2, а$\sigma_i$- матрицы Паули, которые являются основой для пространства эрмитовых комплексных матриц со следом 0 2x2.

Подобно кубитам, мы можем разложить любую n-мерную квантовую систему, используя тождество и любой базис для пространства эрмитовых, бесследовых nxn комплексных матриц, хороший выбор базиса - матрицы Гелл-Манна, и конструкция в размерности n дается здесь .

Поскольку они ортогональны по Гильберту-Шмидту, вы можете найти коэффициенты$a_i$для вашего штата$\rho$взяв внутренний продукт:

$$a_i = \operatorname{tr}\sigma_i \rho$$

Если хотите, можете переписать вектор$\vec{a}$в любой системе координат, которая вам нравится (включая поляры).

Однако существует проблема, потому что, хотя каждый действительный оператор плотности может быть переписан таким образом (с$\vec{a}$будучи n-мерным субнормализованным вектором), это не тот случай, когда каждый оператор этой формы будет допустимым оператором плотности, проблема в том, что некоторые из ваших собственных значений станут отрицательными, а другие станут больше 1, чтобы сбалансировать это . Для кубитов этого не происходит (любой оператор вида$\rho$Я написал выше, что это допустимый оператор плотности), и иногда это делает работу в более высоких измерениях довольно раздражающей.

Да. Мы можем сделать это для любого количества кубитов, используя N-мерные сферические координаты . Для двух кубитов мы можем написать общую матрицу плотности как линейную комбинацию прямых произведений матриц Паули и единицы,

$$\rho = \sum_{ij=0}^3 a_{ij}~ \sigma_{i} \otimes \sigma_{j}$$ .

Здесь$\sigma_{0} = I$, а остальные — обычные матрицы Паули. Для действительной матрицы плотности$a_{00} = 1/4$. Можно показать, что все действительные матрицы плотности лежат внутри сферы более высокого измерения с центром в координате, соответствующей$a_{00}$. И эти точки могут быть представлены с помощью многомерных сферических координат. Но в отличие от сферы Блоха для одного кубита, все точки не представляют действительные матрицы плотности, поскольку могут быть матрицы с отрицательными собственными значениями. Во всех высших измерениях это выпуклое тело внутри этой сферы. Подробное объяснение можно найти здесь и здесь .

Состояние одного кубита может быть записано в общем виде как

$$\begin{equation} |\psi_1\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \end{equation}$$ где $\alpha,\beta \in \mathbb C$и есть еще одно ограничение, что $\langle \psi_1|\psi_1\rangle=|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Однако только относительная фаза между $|0\rangle$и $|1\rangle$имеет физический смысл (квантовые состояния — это лучи в гильбертовом пространстве), поэтому мы можем вынести за скобки фазу $e^{i\theta}$. Выберем эту фазу так, чтобы $a=e^{-i\vartheta}\alpha$реально пока $b=e^{-i\vartheta} \beta$может оставаться сложным. Тогда наше состояние $$\begin{equation} |\psi_1\rangle=e^{i\vartheta}(a|0\rangle+b|1\rangle). \end{equation}$$ Предыдущее состояние теперь $\langle \psi_1|\psi_1\rangle=|a|^2+|b|^2=1$. У нас есть три реальных параметра и одно ограничение, поэтому мы можем сказать, что наше состояние $|\psi_1\rangle$живет на единичной 2-сфере.

Аналогично, двухкубитное состояние может быть записано в общем виде как

$$\begin{equation} |\psi_2\rangle=a|00\rangle+b|01\rangle+c|10\rangle+d|11\rangle \end{equation}$$ где мы можем выбрать $a\in \mathbb R$и $b,c,d \in \mathbb C$с дополнительным ограничением, что $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 =1$. В этом случае есть семь свободных параметров и одно ограничение, поэтому двухкубитная система будет жить на единичной 6-сфере и иметь соответствующее полярное разложение более высокого измерения.