Теорема Блоха

Вот простой ответ:

Давайте просто вычислим импульс частицы с блоховской волновой функцией

$$\begin{eqnarray} \left.\langle x \right| \hat{p}\left|\Psi \rangle\right. &=& -i\hbar \left(\frac{d}{dx}\right) u_k(x) e^{i k x} \\ &=& -i \hbar \left( i k u_k(x) e^{ikx} + u_k'(x)e^{ikx}\right) \\ &=& \left( pu_k(x) - i\hbar u_k'(x)\right)e^{ikx} \end{eqnarray}$$

где в последней строке мы определили$p\equiv \hbar k$. Это довольно ясно показывает, что блоховская волновая функция не является собственной функцией оператора импульса. Итак, хотя вы всегда можете разбить волновую функцию на плоские волны$e^{ikx}$, и каждая компонента является собственным состоянием импульса с импульсом$p=\hbar k$, блоховские функции сами по себе не являются импульсными собственными состояниями. Поэтому,$k$в$u_k(x)e^{ikx}$не является импульсом блоховского состояния. Однако обратите внимание, что если$u_k(x)=\text{constant}$так что$u_k'(x)=0$, то получаем

$$\left.\langle x \right|\hat{p} \left| \Psi \rangle \right. = pu_k(x)e^{ikx}=p\left.\langle x \ |\Psi \rangle \right. = \left.\langle x \right|\ p \left| \Psi \rangle \right.$$ или другими словами

$$\hat{p}\left|\Psi\rangle\right. = p\left|\Psi \rangle\right. .$$

Пожалуйста, задайте отдельный вопрос о зоне Бриллюэна. Я хотел бы ответить на это, но это отдельный вопрос.

Вы не можете смешать импульс кристалла$\vec{k}$с фактическим импульсом электрона, потому что в кристалле фактическая трансляционная симметрия нарушена. Иными словами, если переместиться на очень небольшое расстояние, система изменится, поэтому фактический импульс не является хорошим квантовым числом.

Вы можете проверить это$\psi_{nk}=\psi_{nk+K}$и$E_{nk}=E_{nk+K}$, так что$\psi_{nk}$и$\psi_{nk+K}$фактически описывают одно и то же квантовое состояние, поэтому всегда можно перевести в него импульс кристалла за пределами 1BZ.