Ортонормированность волновой функции Блоха?

есть этот учебник, который доставляет мне неприятности некоторое время:

Это показывает, что волновые функции Блоха могут быть записаны как

$$\Psi_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right) = \frac{1}{\sqrt{V}}e^{i\vec k \vec r}u_{n\vec k}\left(\vec r\right),$$ что меня устраивает. В нем также говорится, что факторы Блоха $u_{n\vec k}\left(\vec r\right)$может быть ортонормирован на (примитивном) объеме элементарной ячейки $V_{UC}$: $$\frac{1}{V_{UC}}\int_{V_{UC}}d^3r u^*_{n\vec k}\left(\vec r\right) u_{n'\vec k}\left(\vec r\right) = \delta_{n n'}$$ .

Однако, и здесь начинается моя проблема, она заключает, что, следовательно, функции Блоха$\Psi_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right)$выполнить

$$\int_V d^3r \Psi^*_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right) \Psi_{n'\vec{k'}}\left(\vec{r}\right)=$$ $$=\frac 1 V \sum_\vec{R} \int_{V_{UC}\left(\vec R\right)}d^3r e^{-i\vec k \left(\vec R + \vec r\right)} u^*_{n\vec k}\left(\vec R + \vec r\right) e^{i\vec {k'} \left(\vec R + \vec r\right)} u_{n'\vec{k'}}\left(\vec R + \vec r\right)=$$ $$=\frac 1 N \sum_{\vec R} e^{i\left(\vec{k'}-\vec{k}\right)\vec R} \frac{1}{V_{UC}}\int_{V_{UC}} d^3r u^*_{n\vec{k}}\left(\vec r\right) u_{n'\vec{k'}}\left(\vec r\right)=$$ $$=\delta_{\vec{k'}\vec{k}}\delta_{n'n}$$ с векторами решетки $\vec R$и объем кристалла $V = N V_{UC}$.

Но я просто не понимаю последние две строчки. Я имею в виду, что интеграл во второй последней строке на самом деле должен читаться$\int_{V_{UC}} d^3r e^{i\left(\vec{k'}-\vec{k}\right)\vec r}u^*_{n\vec{k}}\left(\vec r\right) u_{n'\vec{k'}}\left(\vec r\right)$, не так ли? И, если это правда, и я уже не пропустил что-то важное, я не могу понять, как это могло привести к этим двум$\delta$с ...

Я почти уверен, что что-то пропустил, но я просто отчаянно терплю неудачу, поэтому любая помощь будет принята с благодарностью!

РЕДАКТИРОВАТЬ

Большое спасибо за ваши реакции! Тем не менее, похоже, я не смог достаточно ясно изложить свою проблему, поэтому я решил, что лучше всего будет рассказать вам, каков был мой подход до сих пор, шаг за шагом, поэтому, возможно, кто-то увидит, где я на самом деле ошибаюсь:

Начиная с

$$\int_V d^3r \Psi^*_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right) \Psi_{n'\vec{k'}}\left(\vec{r}\right),$$ Я разделил домен интеграции $V=NV_{CU}$, таким образом получая сумму интегрирований по объему элементарной ячейки, что дает $$\sum_{\vec R}\int_{V_{UC}} d^3r \Psi^*_{n\vec{k}}\left(\vec{r} + \vec R \right) \Psi_{n'\vec{k'}}\left(\vec{r} + \vec R\right),$$ что оказывается именно второй строкой при использовании $\Psi_{n\vec{k}}\left(\vec{r}\right) = \frac{1}{\sqrt{V}}e^{i\vec k \vec r}u_{n\vec k}\left(\vec r\right)$. Затем я продолжил использовать $\Psi\left( \vec r + \vec R\right)=e^{i\vec k \vec R}\Psi\left(\vec r\right)$. Но это дает $$\sum_{\vec R} e^{i\left(\vec{k'}-\vec{k}\right)\vec R} \int_{V_{UC}} d^3r \Psi^*_{n\vec{k}}\left(\vec r\right) \Psi_{n'\vec{k'}}\left(\vec r\right)$$ что не согласуется с третьей строкой в ​​книге, где интеграл берется по блоховским факторам. $u_{n\vec k}\left(r\right)$только.

Однако даже если предположить, что это просто опечатка (в чем я не уверен...), я бы столкнулся с интегралом$\int_{V_{UC}} d^3r e^{i\left(\vec {k'} - \vec k\right)\vec r} u^*_{n\vec{k}}\left(\vec r\right) u_{n'\vec{k'}}\left(\vec r\right)$и я не вижу, как эти двое$\delta$s будет возникать из этого либо.

Еще раз спасибо всем за ваши реакции, и я надеюсь, что действительно ясно изложил свою проблему.