Могут ли замкнутые петли обойти теорему о спиновой статистике в трех измерениях?

Ответ на ваш вопрос — да, ваша интуиция верна на 100%. Все сводится к топологии конфигурационного пространства$\mathcal C$, в основном первая гомотопическая группа$\pi_1(\mathcal C)$(который не равен нулю в вашем примере). См. набор задач 1, задачу 3 из этого курса в Оксфорде. Это упражнение как раз о петлях в 3+1D! Приходится утверждать, что для любого типа статистики точечных частиц в 2+1D (представления группы Брейда) существует соответствующая петлевая статистика в 3+1D.

Однако обратите внимание, что эти петли приведут к нетривиальной статистике только в 3 + 1D, в более высоких измерениях не будет никаких топологических препятствий. Это связано с тем, что в высших измерениях всегда можно развязать узлы.

В более общем плане вы можете думать о многих различных способах получения нетривиальной статистики. Вы можете придать своему объекту более сложную внутреннюю структуру, чем просто точечные частицы (петли — лишь один из примеров), или вы можете разместить свои объекты на топологически нетривиальных многообразиях. См., например , эту статью о так называемой «проективной ленточной статистике перестановок», которая представляет собой способ получения нетривиальной статистики в более высоких измерениях, но с «дефектом», имеющим некоторую внутреннюю структуру.

РЕДАКТИРОВАТЬ: это ответ на вопрос, заданный Пратьюшем в комментариях.

Ну да и нет. Если вас интересуют более общие статистические данные о точечных частицах, вам нужно перейти к измерениям 2+1, где у вас есть любые. При обмене двумя (абелевыми) анионами волновая функция изменяется на фазу$e^{i\pi\alpha}$. Здесь$\alpha = 1$соответствуют фермионам,$\alpha=0$соответствуют бозонам, а для любой фазы$\alpha\in[0,1]$у тебя есть -оны . Таким образом, в смысле статистики обмена анионы интерполируют между фермионами и бозонами.

Однако есть и другой подход. В известной статье Холдейн предлагает так называемую статистику исключения , которая определяет статистику частиц в терминах обобщенного принципа исключения Паули (как вы предлагаете). Тогда возникает естественный вопрос: приводит ли интерполяция анионов между фермионами и бозонами к интерполяции статистики исключения? Мурти и Шанкар , похоже, попытались ответить на этот вопрос и нашли соответствующий параметр исключения для$\alpha$любой (уравнение (16)). Тем не менее, я недостаточно знаю статистику исключений и состояние поля, чтобы дать много подробностей. Но вы можете многому научиться, прочитав некоторые статьи, в которых цитируется работа Холдейна.