Интеграл по траекториям и диаграммы Фейнмана

Например, как он пришел к интерпретации пропагатора как распространения частиц?

Интеграл по траекториям обычно вводится как матричный элемент оператора временной эволюции

$$\langle x_f\lvert\mathrm e^{-\frac{\mathrm i}{\hbar}\hat{H}(t_f-t_i)}\lvert x_i\rangle,$$ что является мерой вероятности нахождения системы в конечном состоянии и времени $x_f,t_f$когда он был в состоянии $x_i$вовремя $t_i$изначально. Вполне правдоподобно назвать его распространителем, поскольку он дает непосредственный доступ к вероятности того, что система, возможно, только одна частица, распространяется из состояния $x_i$к $x_f$во время $t_f-t_i$. Вероятно, труднее понять, что это понятие все еще сохраняется, когда интеграл по путям используется для вычисления большой суммы разбиений в квантовой статистике.

Можно ли добиться какого-либо понимания, изучая, как изначально разрабатывалась техника?

Идея обозначения формул узлами и связями между ними используется во многих других областях и, вероятно, не была новой в то время. Идея в основном заключается в изоморфизме между классом графов и имеющимися формулами при заданном однозначном правиле перевода. Это дает интуитивно понятную связь с теорией графов и упрощает ее применение, например, когда диаграмма называется «связной» или «несвязной», что означает, что соответствующая формула может быть факторизована или нет. Другим примером такого рода, не связанным с Фейнманом, является диаграммная трактовка классической модели Изинга.

Меня учили, что диаграммы Фейнмана возникли как умный способ записи сложных вычислений, возникающих в пертурбативном подходе к интегралу по траекториям.

Краеугольным камнем является хорошо известное правило Вика, которое позволяет вычислять стандартные и грассмановы интегралы корреляций с гауссовой мерой, например выражение вида

$$\int dx_1\cdots dx_n \ x_{j1}\cdots x_{jn} \ \exp\{- (\hat{x},A\hat{x})\}$$ переписывается как сумма нескольких слагаемых, по одному на каждый способ «сокращения» всех $x_{j1}\cdots x_{jn}$в пары. В частности, каждая пара $x$по контракту, даст также вклад, пропорциональный входу обратного $A$.

В формулировке интеграла по путям, применяемой к КТП, нам нужно будет вычислить аналогичные интегралы, где$x$заменяются полями, а$A$квадратичного члена является менее тривиальным объектом, но предполагается, что правило Вика все еще верно. (По крайней мере, так меня учили.)$A$нужно подходящее обобщение, и оно принимается за функцию Грина, так что вы видите, что правило Вика приведет к появлению пропагаторов.

Чтобы описать взаимодействующие теории, вам нужны дополнительные термины в экспоненциальном аргументе, например$(\hat{J},\hat{x})$или же$\hat{x}{}^4$. Это разрушает игру, так как теперь правило Фитиля больше не применяется. Здесь вступает в действие идея экспоненциального расширения новых терминов.$(\exp\{f(x)\} = 1 + f(x) + f(x)^2/2 + \cdots)$, так что вы обнаружите ряд интегралов, вычисляемых по правилу Вика. В зависимости от типа поля, бозонного (стандартный интеграл) или фермионного (интеграл Грассмана), а также от условий, которые вы ввели в экспоненту, вы можете изобразить сокращения правила Вика в графическом виде, соблюдая некоторый набор правил (фейнмановское правило). правила), конечно, полученные рисунки являются диаграммами Фейнмана.

В общем случае у вас будут вершины для каждого поля, появляющегося в интеграле (вне экспоненты гауссовой меры), а сокращения между парами будут представлены линиями.

Ссылка, которую я нахожу очень интересной, - это «Непертурбативная перенормировка» Вьери Мастропьетро, ​​в разделе «Грасмановы меры» диаграммы Фейнмана представлены как очень естественный способ представления правила Вика для интеграла Грассмана, без упоминания ничего о QFT.

Я читал либо в одной из книг Фейнмана, либо в биографии « Гений: жизнь и наука Ричарда Фейнмана » Джеймса Глейка, что Фейнман был на конференции в гостиничном номере, пытаясь вычислить интеграл по траекториям, в пижаме и в какой-то Point оказался в окружении кучи бумажек, каждая из которых содержала член в разложении теории возмущений. В основном это были так называемые диаграммы Фейнмана. Если я правильно помню (у меня нет книги передо мной), он встретился с кем-то еще на конференции, кто использовал подобную идею, и они поняли, что это хорошая идея, и поделились ею с другими.

PS Книга Глейка действительно хороша.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Согласно комментариям ниже, история, которую я помню, взята из «Удовольствия от выяснения вещей» . Кроме того, фактическое объяснение того, откуда берутся диаграммы, появляется в книге за несколько страниц до истории, которую я описал.