Можем ли мы получить нелоренцеву метрику из лоренцевской метрики с помощью методов перенормировки?

Контур времени действительно не имеет ничего общего с перенормировкой. Скорее это то, что вы выбираете в самом начале для расчета, который вы хотите сделать. При любом выборе временного контура теория перенормировки почти не меняется. Что делает перенормировка (понимаемая в терминах ренормализационной группы Каданова / Вильсона), так это генерирует эффективные операторы более высокой размерности в лагранжиане. Добавление операторов к лагранжиану не влияет на то, какой временной контур вы выберете для их интегрирования!

Причина выбора временного контура немного более тонкая, и вы, вероятно, видели только два наиболее распространенных особых случая. Знакомство с общим случаем может прояснить, что происходит с воображаемым временем, даже если вы никогда не используете самый общий случай. Общая корреляционная функция (упрощающая до одного скалярного поля) может быть записана

где операторы временной эволюции$U(t_i,t_j)$исходить из работы с картиной Гейзенберга (или взаимодействия) и$\rho$— произвольная начальная матрица плотности, описывающая систему в начальный момент времени$t_0$. Это все стандартные вещи, похожие на то, что вы увидите в любом курсе QFT.

А вот и хитрость (часть 1): вы можете записать любую матрицу плотности в виде$\mathrm{e}^{-\beta H^M}$. Полностью общий.$H^M$не обязательно является гамильтонианом вашей системы, хотя, если это так, у вас есть состояние теплового равновесия при температуре$\beta^{-1}$. Теперь хитрость (часть 2): обратите внимание, что$\mathrm{e}^{-\beta H^M} = \mathrm{e}^{-i (-i\beta) H^M} = U(t_0 - i\beta, t_0; H^M)$. Это всего лишь уловка: эволюция воображаемого времени с «гамильтонианом».$H^M$дает вам матрицу плотности. Если$H^M = H$это просто тепловое состояние. Если нет, то нет. Общий формализм может справиться с динамикой произвольного неравновесного состояния в реальном времени.

Теперь взгляните на страницу 107 Стефануччи и ван Левен. Я воспроизвожу соответствующий рисунок ниже (я считаю, что это добросовестное использование, но я искренне рекомендую вам прочитать всю книгу, если у вас будет такая возможность):

На первом рисунке показана общая ситуация, которую я описал: эволюция во времени начинается в$t_0$, бежит вверх по реальной оси, чтобы поймать любой$\phi(x,t)$операторы, которые там есть, затем вернитесь к$t_0$чтобы «встретить» начальную матрицу плотности, которую мы делаем, эволюционируя вниз по воображаемой оси с$H^M$что может быть, а может и не быть$H$.

Теперь мы можем сделать аппроксимации. Если вас интересуют только свойства теплового равновесия, а не неравновесная временная эволюция, вы можете измерить все тепловые корреляции, взяв все моменты времени в начальный момент времени и$H^M=H$. Часть контура реального времени схлопывается, и вы просто остаетесь с контуром воображаемого времени, который вы знаете. Дело не столько в том, что теория теплового поля определяется воображаемым контуром времени. Просто это то, что остается, когда ты не заботишься ни о чем другом.

С другой стороны, вы можете начать с некоторого невзаимодействующего состояния в$t_0\to -\infty$и медленно (адиабатически) включайте взаимодействие и наблюдайте, что происходит. Это дает второй набор контуров (рис. б), известный как контуры Швингера-Келдыша и часто используемый для изучения неравновесных ситуаций, таких как электрические токи в наноструктурах и т. д.

Наконец, если вы принимаете матрицу плотности как равновесную матрицу плотности при нулевой температуре, вы можете использовать теорему Гелла-Манна-Лоу, чтобы полностью удалить контур обратного времени. Это дает вам обычный односторонний контур в реальном времени, который вы, вероятно, знаете из обычной КТП (рис. c). Это работает, потому что состояние вакуума при$t\to -\infty$адиабатически переходит в вакуумное состояние при$t\to +\infty$. В неравновесной ситуации на это полагаться нельзя и нужен полный контур.