Пространственный интеграл Минковского Шредера - опасения по поводу вращения фитиля

В приложении Пескина и Шредера «Введение в квантовую теорию поля» есть список интегралов в пространстве Минковского. Особый интерес для меня представляет интеграл (П.44):

$$I(\Delta) = \int \frac{d^{d}\ell}{(2\pi)^d} \frac{1}{(\ell^{2} - \Delta)^{n}} = \frac{(-1)^{n} i }{(4\pi)^{d/2}} \frac{\Gamma(n-\tfrac{d}{2})}{\Gamma(n)} \left( \frac{1}{\Delta} \right)^{n-d/2}$$

$\Delta$не зависит от$\ell$, а Пескин использует метрику$(+---)$. Также,$d$очевидно, это размер пространства, на которое мы смотрим. Пескин выводит этот интеграл, вращая Вика в евклидово пространство так, что$\ell^{0} = i \ell^{0}_{\mathrm{E}}$, и$\ell^{2} = - \ell^{2}_{\mathrm{E}}$(более подробно это показано в главе 6.3).

(Контекст: мне нужно посмотреть на приведенный выше интеграл для$n=3$. Предположительно, это расходится в$d=4$, вот что я смотрю)

У меня есть два вопроса об этом интеграле:

• Является ли приведенный выше интеграл точным из-за используемого вращения Вика, или он просто работает некоторое время, или как приближение? Я всегда думал, что это точно, но недавно у меня была дискуссия с кем-то, кто сказал, что это неправда, и вращение фитиля не обязательно дает точный результат. Я в замешательстве и хотел бы получить некоторые разъяснения по этому поводу.

• Во-вторых, Шредер использует$(+---)$метрика (она же неправильная метрика для таких фанатов Восточного побережья, как я). Это значит, что$\ell^{2} = (\ell^{0})^2 - ||\boldsymbol{\ell}||^{2}$. Мне интересно, изменит ли приведенный выше интеграл свой результат, если мы используем метрику$(-+++)$? В основном я ожидаю, что где-то плавает лишний знак минус, так как теперь у нас было бы$\ell^{2} = -(\ell^{0})^2 + ||\boldsymbol{\ell}^{2}||$.