Можем ли мы выбирать между минусами при упругом столкновении? энергии и минусы. импульса?

.... Нам говорят, что все последующие столкновения шаров с полом упругие . Нас просят определить максимальную высоту, на которую поднимется маленький шар при отскоке.

В задаче не упоминаются какие-либо радиусы, но если бы мы знали радиус каждой из сфер, было бы правильно вообще обойти расчеты сохранения линейного импульса и использовать единственный закон сохранения энергии

Это противоречие, потому что упругое столкновение определяется как столкновение, при котором сохраняются как KE, так и импульс. Одного уравнения недостаточно, чтобы определить исход столкновения.

Кстати, знание радиусов не помогает решить любую подобную задачу, так как шары обычно считаются однородными по плотности, а центр масс совпадает с центром тяжести и с точкой приложения всех векторов.

Если вы знаете формулы, введите любое значение, которое вам нравится, и решите для конкретного примера, если только они не просят общую формулу.

Поскольку это вопрос домашнего задания, никто не имеет права давать вам более подробную информацию.

При упругом столкновении двух тел сохраняются импульс и энергия. Вы можете упростить ситуацию, рассмотрев эти законы сохранения в системе центра масс. Там полный импульс равен нулю, поэтому один объект будет иметь импульс, противоположный другому. Поскольку энергия равна квадрату импульса, деленному на удвоенную массу, это означает, что полная кинетическая энергия пропорциональна квадрату импульса, и поэтому она должна быть одинаковой до и после столкновения. Следовательно, величина импульса не может измениться, поэтому мы можем заключить, что все, что может произойти, это изменение направления импульса. В одномерной постановке, такой как в этой задаче, это означает, что импульсы обоих объектов просто меняют знак.

Итак, используя как энергию, так и закон сохранения импульса, мы свели все проблемы одномерных столкновений к простой тривиальности: преобразовать в систему центра масс, изменить знак импульсов и затем вернуться в исходную систему. Затем, в случае, если одна из масс оказывается намного больше, чем другая масса, система центра масс является системой покоя этой массы, что еще больше упрощает решение проблемы.

Давайте посмотрим, сможем ли мы решить эту проблему, используя метод, который я вывел выше. Здесь нужно учитывать, что при столкновении мяча с землей, то есть при столкновении большого мяча с Землей, очевидно, что тогда следует отнести большой мяч к легкой массе. Кроме того, когда произойдет это столкновение, маленький мяч сначала будет продолжать двигаться к земле, а чуть позже он почувствует удар из-за того, что большой мяч изменил направление.

Итак, если мяч ударится о землю со скоростью v, то эта скорость изменит знак, поскольку мы работаем в системе отсчета покоя Земли, которая является соответствующей системой отсчета центра масс для этого столкновения с землей. Но тогда происходит то, что маленький мяч, который все еще движется со скоростью v по направлению к земле, сталкивается с большим мячом, который движется вверх со скоростью v. Таким образом, в системе покоя большого мяча маленький мяч движется к нему со скоростью 2 v. Поскольку эта система отсчета в хорошем приближении является соответствующей системой центра масс для столкновения, которое вот-вот произойдет, отсюда следует, что после столкновения скорость будет равна 2 v относительно большого шара. Затем, вернувшись к исходной системе отсчета, мы видим, что после столкновения маленький шарик будет иметь скорость 3 v относительно земли.

Это означает, что кинетическая энергия маленького шарика после столкновения будет в 9 раз больше, чем до столкновения, а это значит, что он достигнет высоты, в 9 раз превышающей высоту, с которой он был брошен.

Примечание: результат не зависит от предположения, что между двумя шарами есть небольшой зазор.

Некоторые комментаторы и некоторые другие ответы ошибочно утверждают, что приведенный здесь ответ неверен, потому что веб-сайт Гиперфизики утверждает, что без небольшого зазора между шарами результат будет другим. Теперь, помимо того факта, что веб-сайты гиперфизики вообще не делают таких заявлений, очевидная зависимость от зазора является артефактом того, как обрабатываются одновременные столкновения. Конечно, можно возразить, что когда столкновение происходит одновременно, все обстоит иначе, но все сделанные допущения следует сделать явными, чего они не сделали.

Проще говоря, если при нулевом промежутке маленький шарик не поднимается так высоко, то что случилось бы с энергией, которая ушла бы в маленький шарик, если бы зазора не было? Таким образом, сделанные скрытые предположения приводят к тому, что энергия рассеивается в виде колебаний в большом шаре. Но как я покажу ниже, это вовсе не очевидно, вы не придете к такому выводу, если просто более детально разберете проблему.

Итак, позвольте мне объяснить, почему зазор не имеет значения в духе этой проблемы, где мы делаем предположение об упругих столкновениях, где два шара определенно не приклеены друг к другу. В момент удара нижнего шарика о землю верхний шарик вместе с точкой контакта движется к земле со скоростью v, а нижняя часть шарика остановилась. Таким образом, сначала происходит сжатие мяча в точке контакта с землей, ударная волна должна распространиться на другой конец мяча, прежде чем точка контакта с другим мячом остановится, и верхний шар начнет сжиматься. это там. Когда это произойдет, точка контакта с верхним шаром переместится в шар с относительной скоростью 2v. Это означает, что когда это упругое движение восстанавливается, эта относительная скорость 2 v меняет знак. После этого точка контакта замедлится, создав зазор между верхним шаром (он не приклеен к нижнему шару, поэтому отойдет). Итак, мы снова приходим к тому же результату.

Конечно, можно возразить, что необходимо более детальное рассмотрение упругих движений шаров и что относительная скорость 2 v неточна. Здесь следует отметить, что внутреннее движение упругих шаров представляет собой процесс, при котором кинетическая энергия рассеивается в тепло, так что это на самом деле указывает на невозможность с самого начала иметь идеальные упругие столкновения.

В задаче не упоминаются какие-либо радиусы, но если бы мы знали радиус каждой сферы, можно ли было бы вообще пропустить расчеты сохранения импульса?

Принятый ответ смутил вас:

Вы можете упростить ситуацию, рассмотрев эти законы сохранения в системе центра масс. Там полный импульс равен нулю, поэтому один объект будет иметь импульс, противоположный другому.

Вы можете найти четкое объяснение проблемы в гиперфизике :

если$m_B>m_b$ если массы$m_B = m_b$

Изменение системы отсчета здесь бесполезно и вводит в заблуждение, так как в этом случае система Лаборатории совпадает с системой Центра масс. (пол-Земля в 10^24 раза больше, чем B). В ссылке показан более интересный случай, когда рассматривается система отсчета большего шара B.

Еще один аспект, который необходимо подчеркнуть, заключается в том, что: - два шара B, b не должны касаться друг друга в первую очередь: " ...Два слегка отстоящих друг от друга шара, брошенных с одной и той же высоты, видны наземному наблюдателю как приближающиеся к поверхности со скоростью v... " Если верхний мяч ударится о нижний до того, как тот отскочит, то результат будет другим.

Проблема довольно проста, если рассмотреть два отдельных упругих столкновения:

• B ударяется об пол и отскакивает с (почти) той же скоростью -v
• B сталкивается со встречным b со скоростью +v и отскакивает со скоростью +2v относительно +v

Я ошибочно предположил, что нижний шар полностью остановится и передаст всю свою кинетическую энергию верхнему шару. Два дополнительных вопроса: (1) Поскольку M настолько велико по сравнению с m, второе столкновение не должно влиять на высоту отскока M, верно? (2) Если бы мы провели этот эксперимент с двумя одинаковыми мячами, должны ли они оба вернуться на исходную высоту после «подпрыгивания»? – Рацион

Соотношение между массами баскетбольного мяча и теннисного мяча составляет примерно 1:11, если M/m уменьшается, результат всегда будет другим:

• если два шара имеют одинаковую массу, то при втором столкновении они поменяются скоростями, нижний шар полностью остановится, как вы говорите, но затем получит скорость верхнего шара.

Следовательно, верхний мяч отскакивает при -v, а нижний мяч при +v и, следовательно, имеет третье столкновение с полом, где он отскакивает во второй раз примерно при -v.

Если бы мы знали радиус каждой сферы, можно было бы вообще пропустить расчеты закона сохранения импульса и использовать одно уравнение сохранения энергии...

Радиус мяча всегда не имеет отношения к исходу столкновения, имеет значение соотношение масс. Для определения результата удара (m, M) всегда необходимы два уравнения: если m = 1 и v = 10, KE = 50. При упругом столкновении это значение сохраняется, но есть много способов, которыми оно будет и что зависит от масс: 50+0, 25+25, 12,5+37,5 и т.д.

Эта ссылка очень полезна и имеет калькулятор , где каждый может проверить свои расчеты, выучить формулы и проверить все утверждения в этом ответе.

Если h = 0,8 м,$M>>m : M/m =99$, и шары разделены так, что они ударяются после того, как М отскочит и восстановит примерно свою скорость в противоположном направлении (v = 4 м/с), m будет отскакивать со скоростью 11,84 м/с, а М продолжит движение с небольшим приведенная скорость (v = 3,84 м/с). KE (800) сохраняется (70+730) и импульс (392 = 11,84+380,16)

, в случае, цитируемом Dvij:

тенниса + баскетбольного мяча M/m = 10, отскок теннисного мяча будет всего 2,5v (= 10,5 м/с).

Наконец, нижний шар остановится как вкопанное только тогда, когда M/m = 3, а m отскочит точно со скоростью 8 м/с.

Нижний шар останавливается замертво

Поскольку ОП еще не получил четкой картины и принял неправильный ответ, необходимо уточнить, что если мяч касается земли, когда он достигает земли, происходит только одно столкновение , а Лабораторная система координат - это точно СМ-кадр.

Итак, если предположить, что оба мяча обладают «идеальной» твердостью (т. е. недеформируемыми), можем ли мы просто рассматривать их как одну единую систему и затем заключить, что они оба отскочат на исходную высоту ?

No Gap Hard Top-Ball

Исход столкновения с полом зависит не только от соотношения масс, но и от твердости мячей, а также от времени, необходимого им для восстановления своей первоначальной формы и скорости: мяч для гольфа, даже сам по себе, полностью сплющивается при ударе о стену, если верхний шар твердый, он слегка ударится об пол, если мягкий, то тоже раздавится. В зависимости от этих факторов конечная скорость m изменяется от v до 2 v.

Маловероятно, что два мяча когда-либо отскочат на одинаковую высоту.