Может ли Вселенная с волновыми функциями элементарных частиц, отличными от волновых функций нашей Вселенной, быть самосогласованной?

Суть вопроса в том

Я говорю о Вселенной, в которой волновые функции имеют только действительные части без мнимых частей, Вселенной, описываемой чем-то отличным от уравнения Шредингера для аналога нерелятивистской квантовой механики, и/или Вселенной, описываемой чем-то отличным от уравнение Дирака для аналога релятивистской квантовой механики.

Я считаю, что все эти идеи связаны друг с другом, и в основе ответа лежит просто аксиома о том, что вероятность должна сохраняться. Из этого, наряду с парой других предположений, вы можете показать, что волновые функции не могут быть чисто вещественными . Отсюда становится очевидным вид уравнения Шрёдингера.

Почему волновая функция должна быть сложной

Скажем, в то время$t=0$, частица находится в состоянии$|\psi(0)\rangle$(где я описываю квантовые состояния в скобках )$^{\dagger}$. Должен быть какой-то оператор$\hat{U}(t)$, известный как оператор эволюции во времени , который показывает, как это состояние развивается во времени, т. е. так, что для любого будущего состояния$|\psi(t)\rangle$, мы можем написать

$$|\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle$$ Теперь скажем, что частица находится в состоянии$|\psi_1\rangle$, и мы хотим найти вероятность того, что он находится в$|\psi_2\rangle$, который мы обозначаем через$\langle\psi_2|\psi_1\rangle$. Естественно, если два состояния идентичны, эта вероятность должна быть равна 1: есть 100% шанс найти частицу в том состоянии, в котором она находится. Поэтому мы требуем, чтобы было верно следующее: $$\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=1=\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle$$ Но мы можем вызвать оператор временной эволюции, чтобы переписать$|\psi(t)\rangle$и увидишь, что $$\langle\psi(0)|\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle=\langle\psi(0)|\psi(0)\rangle$$ где$\hat{U}^{\dagger}(t)$называется сопряженным к оператору. Чтобы приведенное выше уравнение было верным, нам нужно$\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{U}(t)=1$, что является определением унитарного оператора . Если это так, вероятность сохраняется.

Здесь на сцену выходят комплексные числа. Мы можем показать, что любой унитарный оператор может быть записан в виде комплексной экспоненты ; потому что$\hat{U}(t)$унитарный, он подчиняется этой линии рассуждений и как таковой должен быть сложным. В квантовой механике это имеет вид

$$\hat{U}(t)=e^{-i\hat{H}t/\hbar}$$ с$\hat{H}$оператор, известный как гамильтониан и$\hbar$– приведенная постоянная Планка. Мы сразу видим, что, в общем,$|\psi(t)\rangle$должен быть сложным.$^{\ddagger}$

Для дальнейшего чтения см. О сложной природе волновой функции? и QM без комплексных чисел на Physics Stack Exchange. В некоторых из этих ответов используются эмпирические аргументы, но ответ pcr использует тот же аргумент, что и мой, и остается чисто теоретическим, и, следовательно, все еще применим к вашей вселенной.

Уравнение Шрёдингера из$\hat{U}(t)$

Из оператора эволюции во времени мы можем быстро вывести форму уравнения Шредингера, взглянув на бесконечно малый сдвиг во времени

$$\hat{U}(dt)=1-\frac{i}{\hbar}\hat{H}dt$$ Вовремя$t+dt$, мы можем найти состояние системы из$\hat{U}(t+dt)$, в котором вы можете убедиться сами, это просто$\hat{U}(dt)\hat{U}(t)$: $$\hat{U}(t+dt)=\left(1-\frac{i}{\hbar}\hat{H}dt\right)\hat{U}(t)$$ Перестановка, $$\hat{U}(t+dt)-\hat{U}(t)=\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\right)\hat{U}(t)$$ Если мы разделим обе части на$dt$, мы видим, что левая сторона просто дает нам выражение для производной по времени от$\hat{U}(t)$. Затем мы можем переписать это как $$i\hbar\frac{d}{dt}\hat{U}=\hat{H}\hat{U}(t)$$ Применение обеих сторон к начальному состоянию$|\psi(0)\rangle$дает нам $$i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle$$ которое представляет собой уравнение Шрёдингера. Это быстрый и грязный вывод (источник: Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics , второе издание, глава 4).

Уравнение Дирака

Уравнение Дирака намного сложнее. Он разбивает волновую функцию на четыре отдельных компонента, и на самом деле это четыре отдельных связанных линейных дифференциальных уравнения в частных производных первого порядка. Я не так хорошо знаком с уравнением Дирака, как с уравнением Шредингера, поэтому я не буду пытаться отдать ему должное, но скажу, что, учитывая, что его можно рассматривать как результат извлечения квадратного корня, так что говоря об операторе

$$\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$$ мы видим, что, возможно, фактор$i$должен где-то прокрасться, чтобы учесть этот знак минус.

---

$^{\dagger}$Волновая функция$\psi$можно найти из квантового состояния, взяв соответствующий внутренний продукт. Например, если нам нужно представление волновой функции в пространстве позиций, мы определяем его скалярным произведением$\psi(x)\equiv\langle x|\psi\rangle$; если нам нужно представление импульсного пространства, мы используем скалярный продукт$\psi(p)\equiv\langle p|\psi\rangle$. Хотя технически я сосредоточил этот ответ на квантовых состояниях , просто показать, что логика в расширенном виде также верна для волновых функций.

$^{\ddagger}$В случае, когда$\hat{H}=0$, у нас есть$\hat{U}(t)=1$, и так если$|\psi(0)\rangle$реально, то так и есть$|\psi(t)\rangle$. С другой стороны, это тривиальный случай, который имеет место только при одном конкретном (и крайне странном) наборе обстоятельств, и в действительности ни одна частица не подчиняется исчезающему гамильтониану.

Изменить: я неправильно понял вопрос.

Элементарная частица ЯВЛЯЕТСЯ волновой функцией. Ваш вопрос просто спрашивает, могут ли быть разные элементарные частицы. Ответ такой же, как и многие другие ваши подобные вопросы:

В законах физики есть куча параметров. Например, масса протона. Уравнения, управляющие поведением протона, зависят от некоторого числа$m_P$что экспериментально измерено и составляет около$1.6726219 × 10^{-27}$кг.

Мы понятия не имеем, является ли это число особенным. Таким образом, оснований полагать, что действующие законы непротиворечивы, не больше, чем оснований полагать, что законы$m_P= 2.6726219 × 10^{-27}$кг соответствуют. Второй набор законов описывает вселенную с более тяжелым протоном.

Как всегда, Вселенная с более тяжелым протоном, вероятно, полна лишь свободной энергии и совершенно неинтересна.