Да, конечно!

Мало того, что вы можете это сделать, но на самом деле было предложено множество альтернативных метрических теорий гравитации как до, так и после того, как Эйнштейн выпустил ОТО. Например, первая метрическая теория гравитации фактически принадлежит Нордстрему в 1913 году . Давайте рассмотрим, как именно выглядят уравнения, управляющие ОТО, а затем мы сможем углубиться в несколько альтернативных теорий, которые могут быть похожи на то, что вы ищете.

Обзор общей теории относительности

ОТО, безусловно, имеет внушительную репутацию, но, надеюсь, я смогу назвать достаточное количество самых фундаментальных концепций, которым вы сможете следовать в ходе моего обсуждения. Теперь ключевым уравнением, описывающим эволюцию пространства-времени в ОТО, является уравнение поля Эйнштейна:

$$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu \nu}R = 8\pi T_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu}$$

Где:

• $g_{\mu \nu}$— это метрика пространства-времени, которая кодирует информацию о том, как меняются расстояния и ориентации, когда вы путешествуете в пространстве-времени. $\mu$и$\nu$представляют собой целые индексы в диапазоне от 0 до 3 — по одному для каждого пространственного/временного измерения. Таким образом, этот объект на самом деле имеет 16 записей, хотя оказывается, что большинство из них не являются независимыми. Когда индексы находятся в верхнем положении, это означает, что вы говорите об обратной метрике в обратном смысле матрицы.
• $R_{\mu \nu}$— тензор кривизны Риччи, содержащий информацию о кривизне пространства-времени. Более конкретно, это след более общего тензора Римана$R_{\alpha \beta \gamma \delta}$:$R_{\alpha \beta} = R^\mu_{\alpha \mu \beta} = R^0_{\alpha 0 \beta} + R^1_{\alpha 1 \beta} + R^2_{\alpha 2 \beta} + R^3_{\alpha 3 \beta}$. Тензор Римана содержит всю информацию о кривизне пространства-времени, и это более или менее вторая производная метрики. Обратите внимание на соглашение о суммировании повторяющихся индексов. Индексы в верхней позиции повышаются на метрику:$R^\alpha_{\beta \gamma \delta} = g^{\alpha \mu} R_{\mu \beta \gamma \delta}$.
• $R$есть скаляр Риччи, являющийся следом тензора Риччи:$R=R^\alpha_\alpha$. По сути, R — это простейший скаляр, дающий информацию о кривизне пространства-времени , к этому факту мы еще вернемся несколько раз.
• $T_{\mu \nu}$это тензор энергии напряжения, который говорит вам о том, как материя и энергия распределяются в пространстве.
• $\Lambda$является космологической постоянной и может рассматриваться как отрицательная плотность энергии, пронизывающая все пространство.

Я знаю, что вам нужно запомнить много вещей, если вы еще не видели этого, но даже поверхностное понимание того, что означают эти символы, позволяет вести гораздо более содержательную дискуссию об альтернативных теориях гравитации. Основные выводы из этого следующие:

1. Левая часть уравнения говорит вам об искривлении пространства, а правая — об энергии и материи в пространстве, поэтому мы говорим, что материя искривляет пространство.
2. Поля, управляющие гравитацией, а именно$g_{\mu \nu}$и по расширению$R_{\mu \nu}$, — вещественные тензоры с двумя индексами. Именно это имеют в виду люди, когда говорят, что гравитация — это теория со спином 2, и именно поэтому у нас так много проблем с ее интеграцией с квантовой механикой. Процедуры перенормировки, используемые в КМ, плохо сочетаются с теориями со спином 2.

Теория гравитации Нордстрема

Как я уже говорил, Нордстрём опередил Эйнштейна на два года, разработав первую метрическую теорию гравитации. В отличие от уравнений поля Эйнштейна, теория Нордстрема управлялась двумя уравнениями (с использованием единиц, где$G=c=1$):

$$R=24 \pi T$$ $$C_{\alpha \beta \gamma \delta} =0$$

Здесь,$T$- след тензора энергии напряжения, а$C_{\alpha \beta \gamma \delta}$— это тензор Вейля, который по существу представляет собой бесследную часть тензора Римана, которая не захватывается тензором Риччи. Второе условие известно как конформная плоскостность и равносильно требованию, чтобы метрика могла быть записана как

$$g_{\mu\nu} = \phi^2 \eta_{\mu \nu}$$

Где$\eta_{\mu \nu}$это метрика из специальной теории относительности, которую мы все знаем и любим, и$\phi$есть ненулевая скалярная функция во всем пространстве-времени.

Исходя из уравнений поля Эйнштейна, мы можем видеть, как красиво выглядят эти уравнения — в них появляется гораздо меньше переменных, а те, которые есть, все являются скалярами. В этой теории гравитация будет силой со спином 0, которую легче интегрировать в КМ. Он также полностью удовлетворяет вашим условиям — он сводится к специальной теории относительности в пустой Вселенной и к ньютоновской гравитации в пределе слабого поля и правильно предсказывает гравитационное красное смещение.

Так что, если это такая замечательная теория, почему бы нам всем не саркастически называть людей Нордстремами, когда они ведут себя глупо? Что ж, к сожалению, оно просто не описывает вселенную, в которой мы живем. Он предсказывает, что не должно быть никакого гравитационного линзирования, и что орбиты должны прецессировать в неправильном направлении с неправильной скоростью, помимо других неточностей. Тем не менее, это полностью непротиворечивая математическая теория, которая сводится к тому, что мы ожидаем увидеть для классических явлений, так что это была бы отличная теория для описания вымышленной вселенной, которую вы строите.

Другой подход к альтернативным метрическим теориям гравитации

Есть еще один способ найти то, что вы ищете, если вы хотите больше вариантов. Подобно физике элементарных частиц и классической механике, вместо того, чтобы начинать с уравнений поля, мы можем начать с математического выражения, называемого лагранжианом, и вывести из него уравнения поля. Я не буду вдаваться в подробности того, как это делается, но все, что вам действительно нужно знать, это то, что такая вещь существует и полностью определяет поведение теории. Теперь, для общей теории относительности, лагранжиан

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R-2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

Где$\mathcal{L}_M$— лагранжиан, описывающий другое вещество и поля излучения. Таким образом, мы можем видеть, что с этой точки зрения общая теория относительности является простейшей метрической теорией гравитации, которую мы можем создать, поскольку ее действие в пустой Вселенной представляет собой просто скаляр Риччи.$R$, который является простейшим скаляром, связанным с кривизной пространства-времени, который мы можем построить.

Однако мы можем построить другие лагранжианы и посмотреть на теорию, которую они создают — наше единственное реальное требование состоит в том, чтобы лагранжиан был скалярным (то есть состоял из тензорных/скалярных величин и не имел непарных индексов), чтобы уравнения поля работали для любая система отсчета. Так, например, мы можем исследовать лагранжианы, такие как

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R+a\nabla^\mu R \nabla_\mu R -2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

или

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R+bR_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta} -2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

где$a$и$b$константы связи и$\nabla_{\mu}$является тензорным оператором, известным как ковариантная производная. Я лично не слишком много знаю о последствиях этих теорий, кроме того, что$a,b \rightarrow 0$они становятся GR, но о них уже были опубликованы статьи, так что это может быть хорошим местом для поиска, если вам удастся их проанализировать.

Ну, вы бы использовали общую теорию относительности, если бы действительно хотели. Однако даже в искривленной Вселенной в действительно крошечных частях пространства и времени не было бы искривления, хотя вся Вселенная искривлена. Так что можно использовать специальную теорию относительности, пока она не используется на больших расстояниях.

О том, что вселенная является самосогласованной, ну вроде как, но вроде нет. Да, законы физики будут одинаковыми, однако то, как вы применяете законы физики, будет меняться в зависимости от того, где вы находитесь в космосе. Таким образом, в более коротких областях пространства вы будете использовать специальную теорию относительности, но на больших расстояниях или участках пространства в вашей вселенной вы будете использовать общую теорию относительности.