Будет ли в ортогональном ряду слабая ядерная сила иметь бесконечный радиус действия?

«Классический» взгляд

Хотя на самом деле не имеет смысла принимать «классический» предел слабого взаимодействия , мы можем попытаться рассмотреть его классически, изучая то, что физики называют уравнением Клейна-Гордона , которое описывает распространение массивной частицы. В нашей Вселенной для случая потенциала, не зависящего от времени, он принимает вид

$$\nabla^2\phi=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi\tag{1}$$ где$m$это масса частицы. Это дает решение $$\phi_Y(r)\sim\frac{1}{r}e^{-\alpha mr}$$ где$\alpha=c/\hbar$; мы ссылаемся на$\phi_Y$как потенциал Юкавы (см. Эти примечания , чтобы понять, как его можно вывести из уравнения Клейна-Гордона).

Если мы попытаемся сформулировать уравнение Клейна-Гордона во вселенной Игана, мы получим

$$\nabla^2\phi=-\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi\tag{2}$$ что является частным случаем того, что Иган называет «скалярным волновым уравнением Римана», если мы установим$\omega_m\equiv\frac{mc}{\hbar}$, убираем зависимость от времени и ставим ток на$\mathbf{j}=0$. Решение этого дает нам $$\phi_E(r)\sim\frac{\cos(\omega_mr)}{r}$$ что является выражением Игана для его версии кулоновского потенциала. (Обратите внимание, что в обоих случаях, если мы установим$m=0$, мы восстанавливаем кулоновский потенциал для безмассового фотона.)

Фактически, если вы попытаетесь рассматривать слабое взаимодействие с классической точки зрения, вы обнаружите, что оно в конечном итоге действует так же, как электромагнитное взаимодействие. Это имеет смысл; в обоих случаях мы имеем дело с силами, опосредованными массивными калибровочными бозонами со спином 1. С этой точки зрения на первый взгляд кажется, что слабое взаимодействие действительно может иметь бесконечный радиус действия.

Лагранжиан

Иган, по-видимому, подробно описывает квантово-механический лагранжиан , описывающий поля в его вселенной. Если вычесть электромагнитную часть, то получим

$$\mathcal{L}_{\text{EM}}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}m_{\text{ph}}^2A_{\mu}A^{\mu}\tag{3}$$ с$m_{\text{ph}}$масса фотона. Для меня это выглядит точно так же, как если бы мы попытались наивно добавить массивный фотон к теории электромагнетизма в нашей Вселенной — действие Прока — умноженное на$-1$. Теперь вы можете показать, выбрав определенное калибровочное преобразование$^{\dagger}$что этот лагранжиан не имеет$\text{U}(1)$калибровочная симметрия, связанная с электромагнитной силой в нашей Вселенной; скорее, он имеет симметрию, связанную с группой$\mathbf{R}$при добавлении (возможно, это неудивительно, так как они в некотором смысле очень похожи ).

я воспитываю$\mathcal{L}_{\text{EM}}$чтобы подчеркнуть, что лагранжиан, описывающий слабое взаимодействие, может не очень походить на слабое взаимодействие, к которому лагранжианцы привыкли в нашей вселенной, поскольку он не должен подчиняться той же симметрии, что и наша ($\text{SU}(2)$), поэтому нашей Вселенной требуется бозон Хиггса. Уравнение$(3)$является совершенно действительным лагранжианом в зависимости от того, заботитесь ли вы об определенных свойствах вашей теории. Из-за этого трудно говорить о том, как будет выглядеть лагранжиан слабой силы Игана. Другими словами, просмотр лагранжиана говорит нам очень мало, или, если быть честным, ничего. Мы уходим с меньшим пониманием, чем мы начали.

Квантовый взгляд

Иган, кажется, не останавливается ни на взаимодействиях между частицами в своей вселенной, ни на массах конкретных элементарных частиц (кроме фотонов). Это печально, потому что это ключевые вещи, которые нам нужно знать, чтобы получить полную картину слабого взаимодействия — классическая картина, с которой я начал, в лучшем случае неполна, а в худшем — вводит в заблуждение. Что мы можем сказать, так это то, что кажется маловероятным, что в его вселенной есть что-то, что меняет то, как частицы могут взаимодействовать и распадаться, и это то, что действительно ограничивает диапазон слабого взаимодействия.

Предполагая, что ширина распада $\Gamma$для бозонов W и Z такие же, как и в нашей Вселенной, частицы по-прежнему будут иметь время жизни$\tau\sim\hbar/\Gamma$. Они по-прежнему будут довольно массивными и по-прежнему будут быстро распадаться, преодолевая конечные — и небольшие — расстояния, прежде чем распасться. Ничто на страницах Игана не указывает на обратное, а это означает, что слабое взаимодействие, как мы можем предположить, по-прежнему является взаимодействием чрезвычайно короткого действия, независимо от того, что говорит любая версия уравнения Клейна-Гордона. Классические предположения и результаты могут только привести вас до сих пор.

---

$^{\dagger}$Мы можем выбрать преобразование$A_{\mu}\to A_{\mu}-\partial_{\mu}\eta$для любого$\eta$, и расширить$F_{\mu\nu}$как

$$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$ и увидишь, что$\mathcal{L}_{\text{EM}}$не сохраняет свою первоначальную форму, если у нас есть массовый член - после этого это алгебра.