Можно ли аппроксимировать большую полуось орбиты как среднее орбитальное расстояние для эксцентричных орбит?

Математика говорит, что большая полуось не является хорошей мерой среднего расстояния для орбит с большим эксцентриситетом (эллиптических).

В основном есть два способа измерить это: (1) среднее значение по всей орбите на чисто геометрической основе и (2) среднее значение во времени. Они дают совсем другие результаты - качественно разные.

Среднее расстояние на геометрической основе.

В каком-то смысле это самое очевидное. Математика такова:

$$R_g = \frac a {2\pi} \int_0^{2\pi}r\,d\theta$$

И мы используем для эллипса:

$$r = \frac \rho {1+\epsilon\,cos\theta}$$

Результат (в конце концов :-)):

$$R_g = a\,\sqrt{1-\epsilon^2} \tag{1}$$

Среднее по времени.

Это более хитрый расчет, но на самом деле это самое "человеческое" среднее. Мы хотим :

$$R_t = \frac 1 T \int_0^T r\,dt$$

Математика здесь утомительна и бесполезна, но результат (с небольшой помощью от Wolframalpha.com) таков:

$$R_t = a\,\frac 2 {\pi} \frac{2+\epsilon^2}{(1-\epsilon^2)^{\frac 5 2}}tan^{-1}\left( \sqrt{\frac {1-\epsilon}{1+\epsilon}} \right) \tag{2}$$

Теперь, по любому определению, это беспорядочное уравнение, но главное отметить ключевое различие между усредненным по времени выражением (2) и геометрическим выражением (1).

Геометрическое выражение становится меньше по мере увеличения эксцентриситета.

Среднее по времени значение увеличивается по мере увеличения эксцентриситета (небольшое упрощение).

На самом деле для обоих$\frac R a$начинается в$1.000$но когда$\epsilon\to 1$затем$R_g\to 0$и$R_t\to \infty$!

Почему ?

Геометрическое выражение не учитывает орбитальную скорость объекта. По мере того, как вы увеличиваете эксцентриситет, орбиты заканчиваются более быстрым сближением, поэтому меньше времени приближается к нему. По мере удаления от праймера уменьшается и орбитальная скорость, поэтому на больших расстояниях он проводит гораздо больше времени, чем на коротких.

Просто чтобы предоставить аналитическую формулу для правильного усредненного по времени расстояния @uhoh, здесь вывод$\langle r\rangle_t=1+\epsilon^2/2$:

$$a=1 \qquad c=e\qquad b=\sqrt{1-e^2}\\ \vec{r}=(\cos \beta-e,\sqrt{1-e^2}\sin \beta)\\ \vec{r'}=(-\sin \beta,\sqrt{1-e^2}\cos \beta)\\ |r|^2=\cos^2 \beta -2e\cos \beta+e^2+\sin^2\beta-e^2\sin^2\beta=1-2e\cos \beta+e^2\cos \beta=(1-e\cos \beta)^2\\ |\vec{r}\times\vec{r'}|=(\cos \beta-e)\sqrt{1-e^2}\cos \beta+\sin \beta\sqrt{1-e^2}\sin \beta= \sqrt{1-e^2}(1-e\cos \beta)=2\,\mathrm{d}A/\mathrm{d}\beta=\text{const. }\mathrm{d}t/\mathrm{d}\beta\\\ \langle|r|\rangle_t= \int_0^{T}|r|\mathrm{d}t=\int_0^{2\pi}{|r|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\beta}}\mathrm{d}\beta =\frac{\sqrt{1-e^2}\int_0^{2\pi}{(1-e\cos\beta)^2}\mathrm{d}\beta} {\sqrt{1-e^2}\int_0^{2\pi}({1-e\cos\beta})\mathrm{d}\beta} =\frac{2\pi+e^2\pi}{2\pi}=1+e^2/2$$

Суть в том, что ваше предположение неверно. Именно большая полуось определяет период, а не среднее расстояние. Ньютон понял это, когда изобрел исчисление и вывел законы Кеплера. (Поищите некоторые пояснения в разделе «Вывод законов Кеплера»). Вот версия Math из Википедии .

Я должен добавить, что три закона Кеплера и их вывод Ньютоном до сих пор не дают точного определения орбит. Они предполагают, что имеет значение только большая масса, тогда как на самом деле два объекта тянут друг друга. Не только Солнце притягивает Землю, но и Земля притягивает Солнце, что немного ускоряет орбиту (соотношение масс 330 000 к 1 делает это почти незначительным, но оно есть). Более точные ньютоновские орбитальные расчеты между двумя массивными объектами требуют более сложной математики. Законы Кеплера работают только в том случае, если центральный объект намного массивнее второго объекта.

Не обращая внимания на более тонкие детали и просто глядя на три закона, вывод Ньютона работает точно по большой полуоси. Среднее расстояние не входит в уравнение.

Среднее расстояние объекта на орбите до Солнца или центрального объекта в любом случае проблематично, потому что планета движется медленнее, когда она дальше, поэтому есть несколько способов рассчитать среднее расстояние.

По времени , которое планета проводит на каждой части своей орбиты (такой же, как площадь, определяемая 3-м законом Кеплера)

Или вы можете измерить среднее расстояние по дуге или углу, беря все меньшие и меньшие углы и вычисляя среднее значение.

Или можно взять среднее расстояние по длине эллипса до конкретных фокусов.

Это три отдельных метода измерения среднего расстояния. Излишне говорить, что это становится немного сложным. Хорошей новостью является то, что вам не нужно делать какие-либо расчеты для среднего расстояния, потому что большая полуось на самом деле верна.

Равна ли большая полуось среднему расстоянию, возможно, по дуге или по длине? Не уверена. Я постараюсь решить это. Я знаю, что он не равен среднему по времени.

Имеет ли это смысл. Я не уверен, что объяснил это так хорошо, как должен.

Редактировать

На средней дистанции. Стандартное среднее расстояние с орбитами определяется по времени или площади. Третий закон Кеплера гласит, что равные площади за равное время, так что на самом деле это два способа сказать одно и то же: равное время и равная площадь поверхности.

Я думаю, что ваш вопрос интересен, и я попытаюсь установить связь между большой полуосью и средним расстоянием. Навскидку, это немного сложно, но мне кажется, что соотношение между средним расстоянием и большой полуосью меняется в зависимости от эксцентриситета, но я бы предпочел выяснить это, прежде чем говорить наверняка.

Это должно было стать дополнительным ответом на ответ StephenG . Однако в этом ответе возникает проблема с выражением для усредненного по времени расстояния. Я думаю, что здорово искать математическое выражение, но оно должно быть подтверждено численно.

Я провел быструю численную двойную проверку и проверил эти общие тенденции, но проблема все еще может быть с одним из выражений.

Предполагая, что большая полуось постоянна, равная 1, усредненное по времени расстояние увеличивается с 1 в$\epsilon = 0$до 1,5 в$\epsilon \rightarrow 1$, в то время как для$\theta$-усредненное ("геометрическое") расстояние уменьшается от 1 до нуля.

Я думаю, что теперь мы оба должны добавить path-average для полноты путем усреднения по ds . :-)

---

Скрипт Python:

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in 0.5, 1, 2]

time = np.linspace(0, twopi, 10001)[:-1]

a = 1.0
eps = np.hstack((0, 0.2, 0.5, 0.7, 0.9, 0.99))

orbits = []
for ep in eps:
    rperi = a * (1. - ep)
    vperi = np.sqrt(2./rperi - 1./a)
    X0 = np.array([rperi, 0, 0, vperi])

    answer, info = ODEint(deriv, X0, time, atol = 1E-12, full_output=True)
    xy = answer.T[:2]
    orbits.append(xy)

rs = [np.sqrt((xy**2).sum(axis=0)) for xy in orbits]
rmeans = [r.mean() for r in rs]

plt.figure()
plt.subplot(3, 2, 1)
for x, y in orbits:
    plt.plot(x, y)
plt.ylim(-1, 1)
plt.plot([0], [0], 'ok')
plt.subplot(3, 2, 3)
for r in rs:
    plt.plot(time, r)
plt.subplot(3, 2, 5)
plt.plot(eps, rmeans)
plt.plot(eps, rmeans, 'ok')
plt.plot(eps, np.ones_like(eps), '--k')
plt.ylim(0, 1.6)


theta = np.linspace(0, twopi, 10001)[:-1]
rs = [a * (1-ep**2)/(1 + ep*np.cos(theta)) for ep in eps]
rmeans = [r.mean() for r in rs]

plt.subplot(3, 2, 2)
for r in rs:
    x, y = [r*f(theta) for f in (np.cos, np.sin)]
    plt.plot(x, y)
plt.ylim(-1, 1)
plt.plot([0], [0], 'ok')
plt.subplot(3, 2, 4)
for r in rs:
    plt.plot(theta, r)
plt.subplot(3, 2, 6)
plt.plot(eps, rmeans)
plt.plot(eps, rmeans, 'ok')
plt.plot(eps, np.ones_like(eps), '--k')
plt.ylim(0, 1.6)
plt.suptitle("Time averages      Theta averages")
plt.show()