Как должен геометр думать о факторизации по фермионной симметрии? Это формальное понятие? Строго линейная концепция? Пучковая теоретическая концепция?
Как симплектическая редукция работает с нечетными симметриями в рамках геометрического квантования? Существуют ли модули или инстантоноподобные деформационные комплексы, в которых пространство симметрий, действующих на пространство полей, включает в себя как четные, так и нечетные симметрии?
Например, может ли известная проблема модулей инстантонов, деформации которой определяются линеаризованным комплексом:
В каком-то смысле вопрос заключается в попытке понять, как «нечетные симметрии» или фермионные координаты могут осмысленно переноситься через знакомую нелинейную задачу геометрии, в которой используется нелинейное групповое действие. Являются ли эти нечетные симметрии истинными геометрическими симметриями, которые нужно каким-то образом возводить в степень, или они являются более правильными формальными операторами, подобными симметрии, аналогичными истинным симметриям? Заранее спасибо.
В этом ответе будут рассмотрены два вопроса о симплектической редукции и пространстве инстантонных модулей по отдельности.
Первый вопрос:
Принятым методом обобщения симплектической редукции для включения фермионных симметрий является теория симплектических супермногообразий (и, в более общем смысле, супермногообразий Пуассона). Пожалуйста, ознакомьтесь со следующей экспозицией Тилманна Глимма.
Симплектические супермногообразия могут быть оснащены двумя типами симплектических структур: нечетными и четными. В статье Глима доказывается теорема редукции для двух типов симплектических структур.
Примером симплектического супермногообразия является суперкокасательное расслоение (см., например, следующую статью : JP Michel) спинового многообразия. Локально этот пучок покрывается диаграммами , состоящий из положения, импульса и координат Грассмана.
Симметрии, делящиеся на в суперсимплектической редукции, состоят из супергрупп Ли с гамильтоновым действием на суперсимплектическом многообразии. В статье Глимма есть подробное описание симплектической редукции осциллятора Бозе-Ферми его гамильтоновой группой суперсимметрии (которая является подгруппой ортосимплектической группы).
Теория геометрического квантования может быть расширена до супергеометрии. Квантование нечетных симплектических структур приводит к теории Баталина-Вилковиского . В простейшем приложении это квантование приводит к пространствам квантования, изоморфным комплексу де Рама многообразия.
Классическая механическая теория, связанная с четной симплектической частицей, представляет собой классическое описание спина Березина-Маринова с помощью переменных Грассмана. Его квантование соответствует суперчастицам, где фермионы состоят из участков спинорного расслоения над базисным многообразием.
Второй вопрос:
По сути, пространство модулей инстантонов для супертеорий Янга-Миллса состоит из обычного пространства модулей инстантонов, заданного деформационным комплексом Атьи Хитчина-Зингера, вместе с нулевыми модами скрученного оператора Дирака (см., например, следующую статью : Mainiero and Walter Tangarife в контекст теории Зайберга-Виттена.
Суперсимметричное обобщение деформационного комплекса действительно существует, по крайней мере, для N = 4 суперЯнг-Миллса, как указано в статье Лабастиды и Лозано (уравнение (3.6)).