Можно ли строго математически обосновать принцип Гюйгенса?

Рассмотрим выражение для дифракции Френеля. Электрическое поле определяется выражением:

По сути, это суперпозиция сферических волн, излучаемых точечными зарядами, размещенными вдоль всей апертуры. Это и есть принцип Гюйгенса.

Ясно, что уравнения Максвелла оправдывают принцип Гюйгенса, поскольку формула дифракции Френеля является прямым следствием волнового уравнения, которое является непосредственным следствием уравнений Максвелла.

Хотя в этом линейном случае («линейный» является ключевым словом) принцип Гюйгенса оправдан, это не означает, что он обязательно всегда верен.

Принцип Гюйгенса не совсем верен. Это обсуждается в «Оптике» Зоммерфельда. Проблема заключается, например, в том, что для поглощающего экрана с отверстиями функция Грина, используемая для принципа Гюйгенса, не удовлетворяет граничному условию. Нужно было бы точно решить уравнения Максвелла. К сожалению, известно очень мало точных решений, одно из которых дал Зонмерфельд. Это решение показывает, что отклонение от принципа Гюйгенса составляет всего порядка нескольких длин волн от границы. Для современного отчета о точном решении вы также можете обратиться к введению Тирринга в математическую физику.

Принцип Гюйгенса можно строго сформулировать как утверждение об особенностях и опорных свойствах операторов Грина волнового уравнения. Чтобы быть точным, прямое решение неоднородной задачи Коши с нулевыми начальными данными является гладким решением$\phi\in C^{\infty} (\mathbb{R}^4)$так что:

а)$-\partial_{tt}\phi+\Delta\phi=f$

б)$\phi(0,x)=0$

в)$\partial_t\phi(0,x)=0$

для$f\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^4)$(гладкие источники компактной опоры).

Вот такое решение$\phi$существует, уникален и непрерывно зависит от источника эквивалентно показу корректности. Для деталей вы можете увидеть это .

В самом деле, можно определить интегральное ядро$G(t,x;s,y)$такой, что

$\phi(s,y)=\int_{\mathbb{R}^{4}} G(t,x;s,y)f(t,x)$

$G(t,x;s,y)$соответствует продвинутому пропагатору Грина. Два других - это операторы Грина, связанные с обратной неоднородной задачей (запаздывающая функция Грина) и с однородной начальной задачей (причинный пропагатор).

Используя методы микролокального анализа или путем явного нахождения$G(t,x;s,y)$можно показать, что$G(x,t;s,y)$исчезает, за исключением точки в прошлом световом конусе$(x,t)$то есть$G(x,t;s,y)=0$если нет направленной в прошлое нулевой геодезической между$(x,t)$и$(s,y)$. Заметьте, это означает, что сингулярный носитель$G$это световой конус прошлого.

Вы можете увидеть явную формулу здесь . Обратите внимание, что приведенная здесь формула является лишь частью полной формулы для каузального пропагатора, и поэтому сингулярный носитель отличается от описанного выше. Точная формулировка - это уравнение 4.5.4 Фридлендера .

Также из формулы видно, что введение массового члена не позволяет выполнять принцип Гюйгенса.

Заявление о том, что поддержка$G$это только световой конус прошлого$(x,t)$можно понимать как строгую формулировку принципа Гюйгенса.

В общем искривленном пространстве-времени, т.е. когда мы решаем$\square_g \phi=f$с нулевыми начальными данными на гиперповерхности Коши$\Sigma$в глобально гиперболическом пространстве-времени$(\mathbb{R}\times\Sigma, g)$. Поддержка$G$это все причинное прошлое. Однако все еще можно показать, что сингулярный носитель$G$это только световой конус прошлого.

Поэтому в общем случае принцип Гюйгенса не выполняется. Нужны особые условия на геометрию$g$. Достаточно, чтобы$g$плоское или плосковолновое пространство-время. Более того, принцип зависит от размерности сапцевремени. Например, если$n$странно, принцип недействителен. Точные доказательства вы можете найти у Фридлендера .

Относительно его связи с уравнениями Максвелла. Я хотел бы прокомментировать следующее.

Я сформулировал принцип скалярных волновых уравнений. Однако можно обобщить подход к тензорным волновым уравнениям. Точно так же при подходящем выборе калибровки уравнения Максвелла могут быть сформулированы как тензорное волновое уравнение.

Принцип гласил бы, что мы можем считать значение электромагнитного поля в точке$p$в плоском ровном пространстве-времени, зная только информацию об электромагнитном поле в прошлом световом конусе точки$p$.

Несостоятельность принципа искривленного или нечетного плоского пространства-времени означает, что разница между значением решения и значением приближения, учитывающего только информацию о световых конусах, не равна нулю. Более того, своеобразное поведение$G$на световом конусе означает, что эта разность является гладкой функцией в$(x,t)$. Мы можем переформулировать это как утверждение, что сингулярное поведение электромагнитного поля (места, где оно не является гладким) распространяется со скоростью света. Электромагнитное поле может перестать быть гладким из-за того, что метрика пространства-времени или распределения зарядов являются гладкими.

Эти различия могут быть использованы для характеристики неоднородностей среды.