Подразумевает ли дифракция Фраунгофера также автоматически, что приближение Френеля одновременно выполняется?

Question

Подразумевает ли дифракция Фраунгофера также автоматически, что приближение Френеля одновременно выполняется?

тэээээ

Я запутался в режимах достоверности приближений дифракции Френеля и Фраунгофера и был бы признателен за некоторые разъяснения. Допустим, нас интересует вычисление поля $U_2(x,y)$ , учитывая известное поле ввода $U_1(\xi,\eta)$ в следующей системе координат:

Интеграл дифракции Рэлея-Зоммерфельда является общим решением, и он хорош, пока мы принимаем скалярную теорию дифракции и рассматриваем расстояния, намного превышающие длину волны света ( $r_{01}\gg\lambda$ ):

\begin{matrix} (1) & U_{2} (Икс, у) "=" \frac{г}{я λ} \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) \frac{опыт (я к р_{01})}{р_{01}^{2}} г ξ г η, \end{matrix}

$U_2(x,y) = \frac{z}{i\lambda} \iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\frac{\textrm{exp}(ik\,r_{01})}{r_{01}^2}\,d\xi\, d\eta\;, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & где р_{01} "=" \sqrt{г^{2} + (Икс - ξ)^{2} + (у - η)^{2}} \end{matrix}

$\textrm{where}\hspace{0.5cm}r_{01} = \sqrt{ z^2 + (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 } \tag{2}$ это расстояние от точки

P_{1}

$P_1$ к

P_{0}

$P_0$ .

Приближение Френеля

Это делается путем применения биномиального расширения к $r_{01}$ , и оставьте только первые два члена для аппроксимации $r_{01}$ в экспоненте быть

\begin{matrix} (3) & р_{01} "=" \sqrt{г^{2} + (Икс - ξ)^{2} + (у - η)^{2}} \approx г [1 + \frac{1}{2} (\frac{Икс - ξ}{г})^{2} + \frac{1}{2} (\frac{у - η}{г})^{2}] . \end{matrix}

$r_{01} = \sqrt{ z^2 + (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 } \;\approx z \;\Bigg[ 1 + \frac{1}{2}\bigg(\frac{x-\xi}{z}\bigg)^2 + \frac{1}{2}\bigg(\frac{y-\eta}{z}\bigg)^2 \Bigg]. \tag{3}$ Мы также аппроксимируем

r_{01}^{2} \approx z^{2}

$r_{01}^2\approx z^2$ в демонинаторе уравнения. (1), чтобы получить интеграл Френеля

\begin{aligned} U_{2} (Икс, у) & "=" \frac{опыт (я к г)}{я λ г} \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) опыт (\frac{я к}{2 г} [(Икс - ξ)^{2} + (у - η)^{2}]) г ξ г η (4) \\ "=" \frac{опыт (я к г)}{я λ г} опыт (\frac{я к}{2 г} [{Икс}^{2} + у^{2}]) \times . . . \\ \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) опыт (\frac{я к}{2 г} [ξ^{2} + η^{2}]) опыт (- \frac{2 π я}{λ г} [Икс ξ + у η]) г ξ г η (5) \end{aligned}

$\begin{split} U_2(x,y) &= \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\Bigg( \frac{ik}{2z} \bigg[ (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 \bigg] \Bigg)\,d\xi\, d\eta \hspace{2.4cm} (4)\\ &= \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[x^2+y^2\big]\bigg)\times\; ... \\ &\hspace{1.5cm}\iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[\xi^2+\eta^2\big]\bigg) \; \textrm{exp}\bigg(-\frac{2\pi i}{\lambda z}\big[x\xi+y\eta\big]\bigg)\,d\xi\, d\eta \hspace{1cm} (5) \end{split}$ который должен быть действительным до тех пор, пока

\begin{matrix} (6) & г^{3} ≫ \frac{π}{4 λ} [(Икс - ξ)^{2} + (у - η)^{2}]_{Макс}^{2} . \end{matrix}

$z^3\gg \frac{\pi}{4\lambda} \big[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2\big]^2_{\textrm{max}}. \tag{6}$

Приближение Фраунгофера

Если мы далее предположим, что

\begin{matrix} (7) & г ≫ \frac{к (ξ^{2} + η^{2})_{Макс}}{2}, \end{matrix}

$z\gg\frac{k(\xi^2+\eta^2)_{\textrm{max}}}{2}, \tag{7}$ то первая экспонента внутри интегрирования в уравнении (5) есть

\approx 1

$\approx 1$ , что приводит к более упрощенному интегралу Фраунгофера

\begin{matrix} (8) & U_{2} (Икс, у) "=" \frac{опыт (я к г)}{я λ г} опыт (\frac{я к}{2 г} [{Икс}^{2} + у^{2}]) \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) опыт (- \frac{2 π я}{λ г} [Икс ξ + у η]) . \end{matrix}

$U_2(x,y) = \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[x^2+y^2\big]\bigg) \iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\bigg(-\frac{2\pi i}{\lambda z}\big[x\xi+y\eta\big]\bigg). \tag{8}$

Мои вопросы:

Я всегда читал, что «Фраунгофер соответствует режиму дальнего поля», а «Френель соответствует режиму ближнего поля». Однако:

При получении формулы Фраунгофера в уравнении (8), мне сначала пришлось пройти через приближение Френеля к уравнению. (5). Означает ли это, что Фраунгофер и Френель не являются двумя отдельными отдельными режимами, но что Фраунгофер автоматически подразумевает одновременно Френеля?
Оба условия для двух приближений в уравнении (6) и (7) требуют большого значения $z$ - как мне совместить это с мыслью, что "Френель - ближнее поле", если одно из его требований - большое расстояние $z$ ?

Если я допустил ошибку в какой-либо математике, пожалуйста, укажите на нее, но я также был бы признателен за интуитивное изображение/объяснение. Спасибо!

флиппифанус

Да, в самом деле. Условия Фраунгофера попадают в область применимости условий Френеля.

тэээээ

Итак, почему Френеля часто (всегда?) называют «ближним полем», а Фраунгофера - «дальним полем»?

Карл Виттофт

Потому что эти соответствующие приближения работают «лучше всего» в названных регионах.

тэээээ

@CarlWitthoft Итак, допустимо ли использовать выражение дифракции Френеля (мои уравнения 5/6) даже для очень больших расстояний? Но недостаток в том, что это излишне сложно, когда верна и версия Фраунгофера?

флиппифанус

Строго говоря, дифракция Френеля не предназначена для ближнего поля, потому что она также требует некоторого расстояния распространения, прежде чем она станет действительной. Это соответствует тому, что часто называют параксиальным состоянием. Для условий ближнего поля необходим подход к распространению луча с точки зрения углового спектра.

тэээээ

@flippiefanus не могли бы вы указать мне ресурс, где я мог бы узнать, как это сделать? Я подумал, что лучше всего в ближнем поле (где Френель недействителен) было бы использовать интеграл Рэлея-Зоммерфельда.

флиппифанус

Я могу это объяснить, но тогда это должен быть специальный вопрос. Было бы уместно предоставить это здесь с текущим вопросом.

тэээээ

@flippiefanus Спасибо, я не хотел слишком расширять исходный вопрос и тем самым перемещать стойки ворот, что может сделать недействительным ответ гипортнекса ниже. Поэтому я создал новый вопрос здесь physics.stackexchange.com/q/576529/254512 .

Ответы (1)

Подразумевает ли дифракция Фраунгофера также автоматически, что приближение Френеля одновременно выполняется?

Да, в самом деле. Условия Фраунгофера попадают в область применимости условий Френеля.
Итак, почему Френеля часто (всегда?) называют «ближним полем», а Фраунгофера - «дальним полем»?
Потому что эти соответствующие приближения работают «лучше всего» в названных регионах.
@CarlWitthoft Итак, допустимо ли использовать выражение дифракции Френеля (мои уравнения 5/6) даже для очень больших расстояний? Но недостаток в том, что это излишне сложно, когда верна и версия Фраунгофера?
Строго говоря, дифракция Френеля не предназначена для ближнего поля, потому что она также требует некоторого расстояния распространения, прежде чем она станет действительной. Это соответствует тому, что часто называют параксиальным состоянием. Для условий ближнего поля необходим подход к распространению луча с точки зрения углового спектра.
@flippiefanus не могли бы вы указать мне ресурс, где я мог бы узнать, как это сделать? Я подумал, что лучше всего в ближнем поле (где Френель недействителен) было бы использовать интеграл Рэлея-Зоммерфельда.
Я могу это объяснить, но тогда это должен быть специальный вопрос. Было бы уместно предоставить это здесь с текущим вопросом.
@flippiefanus Спасибо, я не хотел слишком расширять исходный вопрос и тем самым перемещать стойки ворот, что может сделать недействительным ответ гипортнекса ниже. Поэтому я создал новый вопрос здесь physics.stackexchange.com/q/576529/254512 .

гипортнекс · Answer 1

Вот ваше уравнение для больших $z$

\begin{aligned} U_{2} (Икс, у) & "=" \frac{опыт (я к г)}{я λ г} \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) опыт (\frac{я к}{2 г} [(Икс - ξ)^{2} + (у - η)^{2}]) г ξ г η (5) \\ "=" \frac{опыт (я к г)}{я λ г} опыт (\frac{я к}{2 г} [{Икс}^{2} + у^{2}]) \times . . . \\ \iint_{Σ} U_{1} (ξ, η) опыт (\frac{я к}{2 г} [ξ^{2} + η^{2}]) опыт (- \frac{2 π я}{λ г} [Икс ξ + у η]) г ξ г η (6) \end{aligned}

$\begin{split} U_2(x,y) &= \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\Bigg( \frac{ik}{2z} \bigg[ (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 \bigg] \Bigg)\,d\xi\, d\eta \hspace{2.4cm} (5)\\ &= \frac{\textrm{exp}(ikz)}{i\lambda z} \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[x^2+y^2\big]\bigg)\times\; ... \\ &\hspace{1.5cm}\iint_\Sigma U_1(\xi,\eta)\; \textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[\xi^2+\eta^2\big]\bigg) \; \textrm{exp}\bigg(-\frac{2\pi i}{\lambda z}\big[x\xi+y\eta\big]\bigg)\,d\xi\, d\eta \hspace{1cm} (6) \end{split}$ Обратите внимание, что этот интеграл не является преобразованием Фурье заданного поля апертуры.

U_{1} (ξ, η)

$U_1(\xi,\eta)$ но его фазово-модулированная версия

U_{1} (ξ, η) exp (\frac{i k}{2 z} [ξ^{2} + η^{2}])

$U_1(\xi,\eta)\textrm{exp}\bigg( \frac{ik}{2z}\big[\xi^2+\eta^2\big]\bigg)$ . Этот

Σ

$\Sigma$ будучи апертурой конечного размера, для достаточно больших

z

$z$ фазу экспоненты можно сделать сколь угодно малой и тогда ею можно пренебречь. Когда вы можете это сделать, это называется зоной Фраунгофера, но когда вы находитесь не так далеко, вы должны учитывать квадратичное изменение фазы, и вы находитесь в зоне Френеля.

Если на апертуру падает плоская волна и вы находитесь в зоне Фраунгофера, то поведение дальнего поля существенно зависит от амплитуды $|U_1|$ амплитуда его фазы является линейной функцией и может поглощаться ядром Фурье как угловое смещение. Но это не так в зоне Френеля, и квадратичная фазовая модуляция является дополнительным неприятным осложнением при оценке случая наклонного падения.

Подводя итог: наличие квадратичной фазовой модуляции за пределом Рэлея (Фраунгофера) [1] $\frac{2D^2}{\lambda}$ в уравнении $(6)$ является законным, но не добавляет ничего, кроме числовых/аналитических сложностей. Приближение Френеля заменяет квадратный корень квадратным выражением в комплексной экспоненте и приводит к преобразованию Фурье поля апертуры с фазовой модуляцией. Приближение Фраунгофера является дальнейшим упрощением приближения «Френеля», действительного в пределе Рэлея, фактически представляет собой линеаризацию экспоненты, приводящую к преобразованию Фурье поля апертуры, но без квадратичной фазовой модуляции.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Fraunhofer_distance

Подразумевает ли дифракция Фраунгофера также автоматически, что приближение Френеля одновременно выполняется?

тэээээ

флиппифанус

тэээээ

Карл Виттофт

тэээээ

флиппифанус

тэээээ

флиппифанус

тэээээ

Ответы (1)

гипортнекс

Почему волны преломляются?

Всегда ли электромагнитная дифракция равна нулю?

Почему фазовый сдвиг электромагнитной волны или света после отражения меньше 0, находясь в диапазоне [−π,π][−π,π][-\pi, \pi]?

В каком направлении (направлениях) указывают силовые линии электрического и магнитного полей электромагнитных волн?

Принцип Гюйгенса и распространение волн

Почему массив телескопа используется?

Разница между плоской волной и коллимацией?

Можно ли строго математически обосновать принцип Гюйгенса?

Почему в эксперименте с двумя щелями всегда есть яркая полоса под нулевым углом?

Как принцип Гюйгенса-Френеля применим к дифракции?