Можно ли так наивно записать закон сохранения релятивистской энергии?

Ваше чувство осторожности правильно. Сохранение энергии так не работает, потому что энергия не является скалярной инвариантной величиной (в отличие от электрического заряда). Это означает, что величина, которую вы записали как 4-дивергенцию потока энергии, не использует 4-вектор. Но мы можем выразить сохранение энергии, сделав еще один шаг в теории относительности, используя тензор энергии-импульса . Это тензор второго ранга$\bf T$компоненты которого выражают энергию на единицу объема, импульс на единицу объема, поток энергии, давление и чистое напряжение. Все они связаны с рассмотрением передачи энергии и импульса из одного места в другое или между одной системой и другой. Закон сохранения энергии и импульса выражается

Вы упоминаете в своем вопросе то, что вы называете «сохранением массы», но вы должны отметить, что для массы нет закона сохранения, если только вы не имеете в виду сохранение энергии, но тогда было бы лучше назвать это энергией.

Мы не можем просто вставить$\gamma$в уравнение неразрывности, которое в данном случае является формулировкой сохранения массы покоя свободной частицы:

Кроме того, хотя приведенное выше уравнение имеет одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета, само по себе это не означает, что четверка$(\rho c, \rho\mathbf v)$является четырехвектором. В данном случае это 4 -вектор, аналогично плотности электрического тока$j^\mu$. Но есть и другие случаи, когда такое же уравнение$\partial_\mu S^\mu = 0$действителен во всех кадрах, но где$S$не является четырехвектором. Ярким примером является 3-вектор плотности энергии и плотности импульса Пойнтинга в свободном от материи пространстве.

То же самое произойдет и с энергией материи; даже если бы (и это очень важно) можно было бы вывести такое простое уравнение для этой энергии, это не означало бы, что 4-кортеж энергии является 4-вектором. Фактически, в ЭМ теории, основанной на уравнениях Максвелла, нет способа сформулировать закон сохранения энергии, где плотность энергии материи или ЭМ поля является частью некоторого 4-векторного поля; необходимо иметь 4-тензоры 2-го ранга (которые представлены элементами 4x4).

В общем, вы должны учитывать тензор энергии напряжения. Если вы хотите только сохранения энергии (без части стресса и импульса тензора), вы можете взять$\partial_\nu T^{0 \nu}=\frac{\partial}{\partial t} \omega + \nabla \vec{S}/c=0$, где$\omega$плотность энергии и$\vec{S}$плотность потока энергии.