Преобразование Лоренца, задача с выводом

Существует три типа преобразований, сохраняющих пространственно-временной интервал.

• Boosts : это преобразования, подобные тому, что вы дали. Они трансформируются между движущимися относительно друг друга системами, имеющими одинаковое происхождение. Если мы запишем координаты пространства-времени в виде векторов-столбцов, например

  $$X = \left( \begin{matrix} t \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right),$$ то бусты Лоренца имеют вид$X \rightarrow X' = \Lambda X$где$\Lambda$это$4\times4$матрица подчиняется$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$где$\eta$является метрикой. Например, усиление Лоренца в вашем вопросе задается матрицей $$\Lambda = \left( \begin{matrix} \gamma & -\gamma v_0 & 0 & 0 \\ -\gamma v_0 & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right).$$ (Здесь мы установили$c=1$.)

• Вращения : это преобразования между системами, которые ориентированы по-разному, которые также имеют перекрывающееся происхождение, но не имеют относительного движения. Нет никакой разницы между вращениями в специальной теории относительности и вращениями в обычной механике. Они имеют форму$X' = RX$где

  $$R = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & O \\ \end{matrix} \right)$$ и$O$это$3\times3$матрица, удовлетворяющая$O^TO = I$и$\det(O) = 1.$ $O$это просто нормальная матрица пространственного вращения. Заметить, что$R$действует только на пространственные координаты и оставляет$t$без изменений.

• Переводы : это преобразования между системами с разным происхождением, но без относительного движения или разной ориентации. Они имеют форму$X' = X + C$где$C$это просто постоянный вектор-столбец.

Самый общий тип преобразования, сохраняющий пространственно-временной интервал, может сочетать бустинг, поворот и перевод. Например, если вы хотите выполнить преобразование между двумя системами с разными источниками, которые движутся с относительной скоростью, вы просто комбинируете ускорение с перемещением:

Это действительно именно то, что вы предположили, и ваши окончательные уравнения верны.

Что касается терминологии, то первые два преобразования (бусты и вращения) называются преобразованиями Лоренца. Множество всех преобразований Лоренца называется группой Лоренца и обозначается$SO(1,3)$. Множество, содержащее как преобразования Лоренца, так и переносы, называется группой Пуанкаре.

Чтобы дать менее «групповой» ответ: всегда сначала думайте о 3D-аналоге того, что вы делаете в 4D. Таким образом, в 3D у нас есть эти перемещения и повороты, которые являются линейными преобразованиями, сохраняющими$x^2 + y^2 + z^2;$в 4D у нас дополнительно есть эти «повышения», и все три являются линейными преобразованиями, сохраняющими$w^2 - x^2 - y^2 - z^2$где$w = c t.$Так что просто понизьте ускорение до вращения и спросите себя, что бы вы сделали в 3D.

Итак, в 3D мы знаем эти очень простые матрицы вращения.$R$чтобы повернуть вектор вокруг начала координат. Что вы делаете, когда хотите повернуть свои точки вокруг точки$\vec r_0$это не происхождение? Ты формируешь что-то сложное,$\vec r' = \vec r_0 + R(\vec r - \vec r_0),$где вы сначала переводите свои координаты в начало координат, затем поворачиваете, затем переводите их обратно так, чтобы для$\vec r = \vec r_0$у нас также есть$\vec r' = \vec r_0.$И эта процедура будет одинаково хорошо работать для бустов Лоренца,$r_2^\mu = r_0^\mu + L^\mu_{~~\nu} (r_1^\nu - r_0^\nu).$

Однако: также учтите, что вращение вокруг точки, которая не является исходной, действительно дезориентирует, если вы находитесь в исходной точке, теперь все вещи, о которых вы говорите локально, вращаются в какой-то странной точке.$\vec p = (I - R) ~\vec r_0,$очень сложно использовать.

Итак, на практике в 3D и 4D мы выбираем некоторую точку начала координат, которая нам полезна: в 3D это обычно точка на объекте, которую мы отслеживаем; в 4D это обычно какое-то мгновенное событие, которое, по мнению обоих наблюдателей, произошло. И затем, несмотря на то, что оба наблюдателя находят это немного неуклюжим для других точек, мы получаем действительно хороший перевод между ними, который делает математику очень простой.