N=4N=4{\cal N}=4 суперсимметричная теория Ян-Миллса и S-дуальность

А. Действие$N=4$SYM (супертеория Янга-Миллса) в$d=4$является простой размерной редукцией 9+1-мерной SYM, максимальной размерности SYM, которая существует. Последнее

$$S = \int d^{10} x\mbox{ Tr } \left( -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu \nu} + \overline{\psi}D_\mu \gamma^\mu \psi \right)$$ где $D$является ковариантной производной и $\psi$является реальным киральным спинором в 9 + 1 измерениях, который имеет 16 реальных компонентов, что приводит к 8 фермионным степеням свободы на оболочке. Уменьшение размеров уменьшает $d^{10}x$к $d^4 x$но он также переименовывает 6 «компактных» пространственных компонентов $A_\mu$как шесть скаляров $\Phi_I$в $d=4$. Производные в соответствующих 6 направлениях обнуляются.

Если посмотреть, в какие поля и взаимодействия мы попадаем$d=4$- действие написать просто - это одно калибровочное поле; четыре фермиона Вейля; шесть действительных скаляров. Все эти поля преобразуются как присоединенные к калибровочной группе — самые популярные из них$SU(N)$. Они имеют стандартные кинетические условия; стандартные кубические связи калибровочного поля со всеми остальными полями; обычное квартичное самодействие Янга-Миллса калибровочного поля; квартичное взаимодействие калибровочного поля и скаляров; кубические связи Юкавы для 6 скаляров, которые возникают в результате калибровочных взаимодействий фермионов в 9+1 измерениях; потенциал четвертой степени для скаляров, который равен квадрату коммутатора. Все должно быть прослежено по калибровочной группе. Все эти взаимодействия связаны и определяются суперсимметрией — 16 реальными сверхзарядами. Отдельные вершины диаграмм Фейнмана очевидны, но истинная физика, стоящая за всеми ними, связана с симметриями.

Б. Простейшее объяснение S-дуальности состоит в том, чтобы представить калибровочную теорию как низкоэнергетический предел динамики стопки D3-бран в теории струн типа IIB. Группа S-дуальности - на самом деле это$SL(2,Z)$группу, потому что она может также воздействовать на$\theta$-угол (RR-аксион) - напрямую наследуется от той же группы S-двойственности теории струн типа IIB. В частности,$g\to 1/g$может быть интерпретировано в описании F-теории типа IIB как замена 11-го и 12-го (бесконечно малых) измерений F-теории. Можно также получить калибровочную теорию как компактификацию$d=6$(2,0) суперконформная теория поля на крошечном двухторе и$SL(2,Z)$действует очевидным образом — снова обмен двумя радиусами$g\to 1/g$карта. Это непертурбативная двойственность, поэтому не существует простого пертурбативного «переопределения поля», которое доказывало бы это на классическом уровне. Тем не менее, можно сделать много проверок на непротиворечивость, чтобы дуальность казалась жизнеспособной — например, можно найти решения магнитного монополя, которые превращаются в легкие элементарные возбуждения при сильной связи.

С.$N=4$ $d=4$векторный мультиплет содержит все физические поля в теории, и я уже написал, что они из себя представляют: векторное поле с 2 физическими поляризациями, 6 вещественными скалярами и 8 фермионными степенями свободы от 4 фермионов Вейля, несущее$SU(4) \approx SO(6)$Группа R-симметрии. Не слишком полезно использовать суперспейс для$N=4$теории, если только кто-то не хочет сломать ее$N=1$или$N=2$. Слишком большая суперсимметрия.

Я согласен с Джеффом в том, что эти вещи можно найти в первых (SUSY) главах любого современного вводного учебника или другой литературы по продвинутой квантовой теории поля или теории струн, так что в этом смысле этот вопрос является кражей времени других пользователей этого сервер.

Кстати, я также хочу отметить, что$N=4$теория, возможно, является «самой важной» или «самой простой»$d=4$негравитационная теория, по современным критериям, и описанное выше действие далеко не единственный - и, может быть, даже самый элементарный - способ описания этой теории. Эта теория, согласно AdS/CFT-соответствию, также двойственна, т.е. в точности эквивалентна теории струн типа IIB на$AdS_5\times S^5$. $N=4$SYM также обладает «двойной суперконформной симметрией», которая вместе с исходной суперконформной симметрией порождает бесконечномерную «симметрию Янга». Твисторные методы особенно полезны для вычисления амплитуд рассеяния в этой области.$N=4$SYM и многие исследователи твисторов считают, что твисторные формулы являются более фундаментальными и элементарными способами описания физики SYM, чем описанное выше пертурбативное действие.