Можно ли рассматривать вспомогательные поля как множители Лагранжа?

По определению, множители Лагранжа — это только коэффициенты, которые входят в экстремальную величину (действие) и т. д. линейно — и которые умножают ограничения. В некоторых исключительных случаях таким образом могло входить вспомогательное поле. Однако обычно они появляются более сложным образом, и билинейные термины во вспомогательных полях являются скорее правилом, чем исключением. Строго говоря, это не множители Лагранжа. Но они очень похожи. Если в действии не фигурируют производные от этих объектов, они также являются «нединамическими» (не задействуют производные по времени), и изменение по отношению к ним подразумевает «нединамические», т. е. алгебраические уравнения движения.

Обратите внимание, что при обычном подходе к экстремизации мы вводим множители Лагранжа, потому что мы хотим экстремировать количество, учитывая предположение, что другое количество или другие количества остаются фиксированными. «Неподвижно» на жаргоне физики переводится как «законы сохранения». Однако в физике мы редко рассматриваем сохраняющиеся величины, которые сохраняются, потому что закон сохранения явно записан как независимое ограничение. Вместо этого в физике мы обычно обнаруживаем законы сохранения нетривиально — сохраняющаяся величина должна быть определена с помощью несколько нетривиальной процедуры из-за Эмми Нётер из-за симметрии. Почти во всех физических теориях законы сохранения являются нетривиальными следствиями некоторых других, «более элементарных» уравнений физики.

1) ОП пишет (v1):

Можно ли рассматривать вспомогательные поля как множители Лагранжа?

Нет, не обязательно. Вспомогательные поля обычно означают нераспространяющиеся поля, и могут быть и другие нераспространяющиеся поля, например, фантомные поля и антифантомные поля. В случае так называемых приводимых калибровочных симметрий также имеются, например, поля призраков для призраков. Более того, если работать в гамильтоновом формализме, для всех упомянутых выше вспомогательных полей имеются нераспространяющиеся поля импульсов. На самом деле верно обратное утверждение: множители Лагранжа являются примерами вспомогательных полей.

2) Строго говоря, согласно исходному определению, верно, что множители Лагранжа $\lambda^a$должен входить в действие линейно (а не, например, квадратично),

где$\chi_a\approx 0$условия, которые мы накладываем с помощью метода множителей Лагранжа.

В лагранжевых калибровочных теориях условия$\chi_a$обычно являются условиями фиксации калибровки, и оказывается, что при последовательном рассмотрении$^1$, калибровочно-инвариантные физические наблюдаемые не зависят от выбора условий фиксации калибровки$\chi_a$.

Эта независимость от условий фиксации калибровки$\chi_a$распространяется на ситуации, когда условия фиксации калибровки$\chi_a$сами зависят, например, линейно от вспомогательного$\lambda$полей, так что действие квадратично зависит от$\lambda$с.

Многие аспекты калибровочной теории можно обсудить до выбора конкретных условий фиксации калибровки, и на практике вспомогательные$\lambda$поля в любом случае называются множителями Лагранжа, независимо от того, выполняются ли условия фиксирования калибровки.$\chi_a$сами зависят от$\lambda^a$. См. Также, например , этот ответ Phys.SE.

Например, действие Янга-Миллса с фиксированной калибровкой, которое упоминает OP (v1), можно точно рассматривать как ситуацию, когда условия фиксации калибровки$\chi_a$сами линейно зависят от полей Лаутрупа-Наканиши$\lambda$.

--

$^1$Заметим, что детерминантный член Фаддеева-Попова также зависит от условия фиксирования калибровки$\chi_a$. Для общих калибровочных теорий последовательную трактовку дает рецепт Баталина-Вилковиского (БВ), ср . например , этот ответ Phys.SE.