В чем разница между теорией Янга-Миллса и КХД?

С начала страницы Википедии по теории Янга-Миллса (вы читали ее?):

« Теория Янга–Миллса — это калибровочная теория, основанная на группе SU(N)...

... В начале 1954 года Чен Нин Янг и Роберт Миллс расширили концепцию калибровочной теории для абелевых групп, например квантовой электродинамики, на неабелевы группы, чтобы обеспечить...

... Это вызвало значительный перезапуск исследований теории Янга – Миллса, которые оказались успешными в формулировке как электрослабого объединения, так и квантовой хромодинамики (КХД). Электрослабое взаимодействие описывается группой SU(2)xU(1), тогда как КХД является SU(3) теорией Янга-Миллса. "

Теории Янга-Миллса представляют собой класс (классических) теорий поля и могут рассматриваться как обобщение теории электромагнитного поля. Отличие теорий Янга-Миллса состоит в том, что рассматривается соответствующая калибровочная группа, но дело в том, что существует несколько возможных.

Вы можете квантовать теорию электромагнитного поля и «получить» квантовую электродинамику. Вы также можете квантовать теории Янга Миллса и таким образом получить некоторые другие специфические квантовые теории поля. Кто-то «использует» теорию Янга-Миллса в расчетах различных частей стандартной модели и т. д., потому что лежащие в их основе структуры являются такими неабелевыми теориями поля. Обратите внимание: когда физики говорят «это теория Янга-Миллса», они обычно уже говорят о квантованной версии.

Например, КХД представляет собой (квантованную) SU(3)-теорию Янга-Миллса со связью с некоторыми фермимонами. Фермионы в лагранжиане связаны с бозонами через текущий член "$j^\mu A_\mu$Специфическая (Ли-)групповая структура (SU(3) в случае КХД) отражается, в частности, в количестве глюонов (восемь) и т. д. Как и многие другие физические свойства, это определяется теорией представлений групп .

Суперсимметричные теории — это теории с большим количеством характеристик, чем обычная теория Янга-Миллса, которая априори в основном касается бозонных полей (Фотоны, W$^{\pm}$/Z-бозоны, глюоны,...). Суперсимметрия связывает фермионы и бозоны.

Теория Янга-Миллса имеет только калибровочное поле, но не имеет связанного с ним поля материи. квант$SU(3)$Теория Янга-Миллса описывает глюоны в отсутствие (реальных или виртуальных) кварков. Следовательно, с феноменологической точки зрения это всего лишь теория игрушек.

КХД – это теория, полученная из$SU(3)$Теория Янга-Миллса, связав ее с фермионными полями, представляющими кварки.

Теория Янга-Миллса представляет собой квантование следующей теории поля: Поле Янга-Миллса$A$представляет собой соединение на$G$-пучок$P \to M$с полупростой калибровочной группой$G$[1]. Лагранжиан

$$L = -\frac{1}{4}\langle F,F\rangle$$ Здесь $F$кривизна соединения $A$и вы должны думать о скобке как о некотором скалярном произведении. Лагранжиан является обобщением лагранжиана для уравнений Максвелла без источника, $F$является обобщением ковариантного тензора напряженности поля. В квантовой теории поля поля Янга-Миллса являются переносчиками сил, они представляют собой безмассовые векторные бозоны, опосредующие взаимодействия между полями материи (различными фермионами). Термин (чистая) теория Янга-Миллса используется для вышеуказанной теории, квантование требует духов включения, так что дополнительные фермионные поля материи тоже не помешают, тогда обычно говорят о теории Янга-Миллса с материей.

Суперсимметричное обобщение получается следующим образом. Рассмотрим дополнительную$\mathfrak{g}$-значное спинорное поле$\psi$и лагранжиан

$$L = -\frac{1}{4}\langle F,F\rangle + \frac{1}{2}\langle \psi,{D}_A\psi\rangle,$$ куда $D_A$— ковариантный оператор Дирака, связанный с $A$. Эта теория суперсимметрична в пространстве Минковского тогда и только тогда, когда размерность пространства-времени равна $d = 3,4,6,10$. Это довольно сложно доказать и связано с тем, что существует 4 нормированных алгебры с делением: $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}$. Символически преобразование суперсимметрии $\delta A = \epsilon \cdot \psi, \delta \psi = \frac{1}{2}F\epsilon$для спинорного поля $\epsilon$. Физически эта теория описывает калибровочное поле Янга-Миллса, связанное с безмассовым спинором.

Есть несколько возможных модификаций этого лагранжиана: Самое главное, это суперсимметричное расширение, которое позволяет включить дополнительные поля массивной материи: Вы можете рассмотреть минимально связанное$\sigma$-Модель лагранжиана

$$L = -\frac{1}{4}\langle F,F\rangle + \frac{1}{2}\|d_A\phi\|^2 -\int_M \phi^*V,$$ куда $\phi$является некоторым разделом ассоциированного расслоения $X^P = P \times_G X \to M$, $V \colon X \to \mathbb{R}$а $G$-инвариантный потенциал и $X$риманово многообразие, на котором $G$действует по изометрии. Как и выше, теперь вы можете включать спинорные поля. Распространить это на суперсимметричную теорию относительно сложно, но можно. Вы можете найти описание, например, в «Квантовые поля и струны» (стр. 304ff). (Эти модели позволяют получить спонтанное нарушение симметрии, как это необходимо для суперсимметричных расширений стандартной модели (см. ниже))

КХД является частью стандартной модели, описывающей сильное взаимодействие. Сильное взаимодействие осуществляется через$SU(3)$Поле Ян-Миллс$A$. Это описывается термином

$$-\frac{1}{4}\langle F,F\rangle$$

Затем есть 3 поколения фермионов: кварки. Каждое поколение во многом идентично, они связаны только муфтой Юкавы. Каждое поколение состоит из (сложного) спинора$\psi$, со значениями в некотором неприводимом представлении$V$группы$G = SU(3) \times SU(2) \times U(1)$. Представительство$SU(2)$(слабое взаимодействие) различает левостороннюю и правостороннюю части,$SU(3)$представление есть просто фундаментальное представление, схематически связанное с$SU(3)$Поле Ян-Миллс$G$(глюоны) снова

$$\frac{1}{2}\langle \psi, D_A \psi\rangle,$$

где снова$D_A$является ковариантным оператором Дирака, связанным с$G$и скобка может быть построена из соображений теории представлений. Массовые члены — сложная часть: вам нужно объединить (сложный) бозон Хиггса$\phi$, скаляр со значениями в каком-то другом неприводимом представлении$H$из$G$(тривиальный$\times$дублет$\times$гиперзаряд 1) и его античастица, с левой и правой частями$V \oplus \bar{V}$, со "смешением" всех 3-х поколений. Вы считаете$3 \times 3$Матрица$M$(3 — количество поколений) и добавить терм, объединяющий все эти представления единственно возможным способом (вам нужно получить тривиальное представление, точнее вы хотите, чтобы из этого большого представления в тривиальное представление переплелась)

Это огромный беспорядок, поэтому обычно изучают теорию Янга-Миллса с калибровочной группой.$SU(N)$сначала в сочетании с несколькими поколениями фермионных полей в фундаментальном представлении. Схематично:

$$L = -\frac{1}{4}\langle F,F\rangle + \frac{1}{2}\langle \psi, (D_A + M) \psi \rangle$$

К сожалению, я не знаком с термином Susy QCD, есть несколько расширений стандартной модели (например, MSSM), которые все работают путем добавления суперпартнеров к существующим полям (как показано выше), такие модели, конечно, также содержат часть, которая соответствует КХД и ее «суперрасширению».

[1]: Для красивой обложки$\{U_i\}_{i \in I}$из$M$такая связь описывается семейством алгебры Ли со значениями в одну форму$A_i \in \Omega^1(U_i,\mathfrak{g})$, такое что для любого набора функций$g_{ij}\in C^\infty(U_i \cap U_j, G)$, которые удовлетворяют условию коцикла$g_{ij}g_{jk} = g_{ik}$, выполняются следующие тождества:

$$A_j = g^{-1}A_ig + g^{-1}dg$$
(Как уже говорилось, это имеет смысл, только если $G$является матричной группой, но правило преобразования в правой части действительно является суммой присоединенного действия на $A_i$и обратный образ формы Маурера-Картана.)

Этот вопрос похож на вопрос «В чем разница между классическим гармоническим осциллятором и вторым законом Ньютона?» Что ж, гармонический осциллятор удовлетворяет уравнениям второго закона Ньютона.

Теория Янга-Миллса — это скорее парадигма (простите за мой французский), чем «теория», в том смысле, что Ян-Миллс устанавливает основу для таких теорий, как КХД (в отличие от выдвижения гипотезы).

В качестве «входа» Янгу-Миллсу требуется определенная калибровочная группа. Обычно это «достаточно хорошая» группа Ли (IIRC, компактная, связная и односвязная).

КХД — это теория, использующая структуру Янга-Миллса, особенно когда мы ограничиваем внимание калибровочной группой SU(3).

Что «приятно» в Янге-Миллсе, так это то, что он возвращает нам уравнения Максвелла, когда мы подставляем U(1) в качестве калибровочной группы. Так что Yang-Mills действительно очень хорошая машина!

Хорошим справочником по теории Янга-Миллса, по крайней мере, на мой взгляд, является Калибровочные поля, узлы и гравитация Джона Баэза .

Для супер Янга-Миллса, насколько я понимаю (и я не претендую на это), вы позволяете калибровочной группе быть супергруппой Ли. Что делает его «супер»? Ну, у тебя есть$\mathbb{Z}_{2}$оценка. Другими словами: у вас есть фермионные парни и бозонные парни (четные и нечетные соответственно).

Super Yang-Mills включает в модель фермионы. Мне кажется, что вы просто включаете безмассовое фермионное поле, и происходят довольно интересные вещи. Мои единственные ссылки на него:

1. Пьер Делинь, Дэниел Фрид и др., Квантовые поля и струны: курс для математиков , т. 1, с. I, глава 6: Суперсимметричные теории Янга – Миллса, стр. 299–311.
2. Грин, Шварц и Виттен, Теория суперструн , том. I, приложение 4.A: Супертеории Янга – Миллса, стр. 244–247.