Фейнман исключает лагранжиан

Согласно главе 10, разделу 10.6 Правил Фейнмана «Введение в элементарные частицы» Дэвида Гриффитса, есть способ извлечь вершину и пропагаторы, просто проверив лагранжиан:

1) Пропагаторы: возьмите уравнения Эйлера-Лагранжа свободных полей и обратные операторы в импульсном пространстве, которые действуют на поля и умножьте на$i$являются пропагаторами для каждого из них.

2) Вершина: возьмите лагранжиан взаимодействия и умножьте его на$i$. Воспользуйтесь рецептом$i\partial_\mu \rightarrow k_\mu$и стереть поля. Остальное - вершина.

Мои вопросы:

а) Если я хочу вычислить вершину лагранжиана взаимодействия${\cal L}_{int} = g\varphi\partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi$(все скалярные поля), по правилу 2) получаю${\rm vertex} = -igk_1k_2$. Тем не менее, судя по всему, решение$-2ig(k_1k_2 + k_1k_3 + k_2k_3)$. Откуда взялись эти дополнительные факторы?

б) Если бы у меня было такое же взаимодействие, как в а) , но с заменой одного поля на новое$\chi$(тоже скаляр), поэтому${\cal L}_{int} = g\chi \partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi$, будет ли решение$-2igk_1k_2$с$k_i$импульсы$\varphi$поля?

c) Эта книга дает вам это для КХД, с${\cal L}_{int}^{3\ fields} = g\{[\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu]·(A_\mu \times A_\nu) + (A^\mu \times A^\nu)·[\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu]\}$, вы можете получить вершину из 3 полей, известную как${\rm vertex} = -gf^{\alpha \beta \gamma}[g_{\mu \nu}(k_1 - k_2)_\lambda + g_{\nu \lambda}(k_2 - k_3)_\mu + g_{\lambda \mu}(k_3 - k_1)_\nu]$. Я пытался получить это из правила 2), но не смог.