Наивная квантовая гравитация

Question

Наивная квантовая гравитация

Себби

Мой вопрос связан с аналогией, которую я должен указать. Рассмотрим плотность лагранжиана для комплексного скалярного поля:

л "=" \frac{1}{2} \partial_{мю} ф^{†} \partial^{мю} ф - \frac{1}{2} м^{2} ф^{†} ф

$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^{\dagger}\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^{2}\phi^{\dagger}\phi \end{equation}$ который инвариантен относительно глобального калибровочного преобразования

ф \to е^{я α} ф .

$\phi \rightarrow e^{i\alpha}\phi.$ Бездивергентный 4-ток равен

j = (ρ, \underline{j})

$j=(\rho,\underline{j})$ и связанная сохраняющаяся величина представляет собой электрический заряд. Это иллюстрирует глобальное

U (1)

$U(1)$ симметрия. Чтобы увидеть аналогию, мы теперь обратимся к пространственно-временным переводам.

x \to x + a

$x \rightarrow x + a$ которые дают

ф (Икс) \to ф (Икс + а) "=" е^{а^{мю} \partial_{мю}} ф .

$\phi(x) \rightarrow \phi(x+a) = e^{a^{\mu}\partial_{\mu}}\phi.$ Лагранжиан уже не инвариант, а действие:

С "=" \int л д^{4} Икс

$\begin{equation} S = \int \mathcal{L} d^{4}x \end{equation}$ инвариантна в силу трансляционной инвариантности меры Лебега. Ток Нётер - это тензор энергии-импульса

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ а сохраняющаяся величина — это 4-импульс. Благодаря той роли, которую сыграл

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ в уравнениях поля Эйнштейна можно сказать, что 4-импульс играет роль гравитационного заряда.

Преобразование глобальной симметрии U(1) в локальную пару $\phi$ к электромагнитному полю. Это включает изменение лагранжиана путем введения ковариантной производной и добавления лагранжиана для электромагнитного поля. Мой вопрос: дает ли продвижение глобальной трансляционной инвариантности S к локальной инвариантности правильное связывание $\phi$ в поле гравитонов? Инвариант действия относительно общих преобразований координат:

С "=" \int л \sqrt{- г} д^{4} Икс

$\begin{equation} S = \int \mathcal{L} \sqrt{- g}d^{4}x \end{equation}$ где

L

$\mathcal{L}$ также должны быть соответствующим образом изменены и

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ является метрикой. Я перефразирую и расширяю свой вопрос:

(1) Включают ли общие преобразования координат локальные переводы? $x \rightarrow x + a(x)$ или они только $SO(1,3)$ калибровочные преобразования?

(2) Ввиду приведенной выше аналогии калибровочная группа для гравитации является группой переноса в пространстве-времени Минковского. Группа не компактная. Разве группа не должна быть компактной, чтобы гарантировать положительно определенный кинетический член для гравитонов?

(3) Группа трансляций также абелева. Разве это не противоречит тому факту, что гравитоны взаимодействуют друг с другом?

(4) По сути, я говорю о том, что классическая теория гравитации, вероятно, неполна. Существуют ли какие-либо подходы к гравитации, которые модифицируют базовое пространство-время таким образом, чтобы группа изометрий нового пространства допускала компактную версию группы трансляций пространства-времени Минковского? Возможно, Вселенная после образования была компактной, но из-за расширения компактная природа теперь скрыта.

(5) Связано с (4). Не должны ли элементарные частицы соответствовать неприводимым представлениям группы изометрии Вселенной? Если вселенная Минковского, то группа изометрии — это группа Пуанкаре. Были ли изучены другие возможности в этом отношении?

(6) При c = h = 1 ед. постоянная Ньютона G имеет массовую размерность -2. Постоянная тонкой структуры определяется выражением:

α "=" \frac{е^{2}}{4 π ϵ_{0}}

$\alpha = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}$ В гравитоэлектромагнетизме мы имеем соответствие

G \leftrightarrow \frac{1}{4 π ϵ_{0}}

$G \leftrightarrow \cfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}$ . Как импульс

p

$p$ играет роль гравитационного заряда, не должна ли постоянная связи с гравитацией даваться выражением

г \sim п^{2} г "=" м^{2} г

$g \sim p^{2} G = m^{2} G$ где

m

$m$ масса рассматриваемой частицы?

g

$g$ тогда безразмерна. Означает ли это, что ковариантная производная для связи материи с гравитацией задается чем-то вроде

D_{μ} = \partial_{μ} - p^{ν} A_{μ ν}

$D_{\mu} = \partial_{\mu} - p^{\nu} A_{\mu\nu}$ ? где

A_{μ ν}

$A_{\mu\nu}$ есть некоторый тензорный потенциал, связанный с

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ .

(7) Приведенные выше идеи могут подразумевать что-то о бозонах со спином 0 и перенормировке их массы. Есть предположения? Может ли $\Lambda^{2}$ зависимость $m^{2}$ быть просто признаком того, что гравитация была проигнорирована?

Ответы (1)

Наивная квантовая гравитация

Любош Мотл · Answer 1

Да, превращение пространственно-временных трансляций в локальную группу — а по теоретико-групповым причинам это должна быть группа всех преобразований координат, т. е. диффеоморфизмов, — дает непротиворечивую теорию гравитации с правильно связанным метрическим тензором, включая нелинейный (самостоятельно -взаимодействие) члены, которые появляются из-за того, что диффеоморфизмы образуют неабелеву группу.

Это только диффеоморфизмы $x\to x+a(x)$ которые связаны с существованием собственно гравитационного «калибровочного поля», метрики. Описание гравитации также может иметь локальную симметрию Лоренца. $SO(3,1)$ действуя на «виельбейны» и т. д., но эта дополнительная калибровочная симметрия не создает гравитационную силу. Это просто удобство, которое полезно и/или необходимо, чтобы связать теорию гравитации со спинорами и подобными типами полей.
Нет, группа трансляций не обязательно должна быть компактной, а в пространстве Минковского она не компактна. На самом деле естественная билинейная форма на алгебре Ли неопределенна. Это не приводит к состояниям с отрицательной нормой в гравитонном мультиплете, поскольку все компоненты $g_{0i}$ нефизичны калибровочной симметрией – диффеоморфизмами. Кроме того, эффективно не возникает проблем с некомпактностью, поскольку действие для калибровочного поля начинается со вторых производных в скаляре Риччи $R$ . Гравитация не является частным случаем теории Янга-Миллса в целом, потому что переводы не являются группой Янга-Миллса. Группы Янга-Миллса действуют в отдельных точках, но диффеоморфизмы смешивают точки. Обе они являются локальными группами, но они не одинаковы, поэтому правила разные.
Самовзаимодействия возникают из-за того, что группа диффеоморфизмов неабелева. В случае Янга-Миллса точки изолированы от других точек, поэтому вся калибровочная группа неабелева, если группа в одной точке абелева. Но это соотношение неверно в случае диффеоморфизмов. Поточечная группа трансляций абелева, но вся калибровочная группа — нет.
Нет, классическая теория гравитации неполна, и нет причин «требовать» компактной поточечной группы симметрии.
Да, но претензии беспочвенны. У Вселенной не должно быть никаких изометрий, но элементарные частицы все же могут существовать. Да, обычно они бывают «одномерными мультиплетами», но это не значит, что не может быть другого способа их организовать.
Да, безразмерная константа гравитационного взаимодействия равна $O(GMm)$ в том же смысле, как мы можем сказать, что это $O(Qq/4\pi\epsilon_0)$ в электромагнетизме. Можно предположить, что безразмерные заряды имеют порядок один, но это неверно для масс. Ваша формула для ковариантной производной неверна. Ковариантная производная в «калибровочной теории», называемой гравитацией, является обычной ковариантной производной в общей теории относительности. Это не теория Янга-Миллса, потому что гравитация не является теорией Янга-Миллса (простой подкласс теорий с локальными симметриями).
Гравитация только «внутренне» говорит что-то о частицах со спином 2. Все остальное — просто «материя», и ее вращение не имеет значения. Поправки к массе Хиггса и т. д. расходятся из-за негравитационных вкладов. Делались попытки модифицировать гравитацию настолько, чтобы дивергенция исчезла, но все эти попытки либо непоследовательны, либо противоречат принципу эквивалентности.

Спасибо за ответ. Все кажется довольно ясным, но у меня есть еще несколько вопросов: нельзя ли встроить общую теорию относительности в теорию типа Янга-Миллса? Разве это не поможет с квантованием? В этом направлении мысли неабелева природа группы диффеоморфизмов следует из некоторого обобщенного типа неабелевой калибровочной группы. Или теория Янга-Миллса строго ограничена применением к частицам со спином 1, и значимые обобщения вероятны?
@Sebby Вы знаете о теореме Коулмана Мандулы и ее суперсимметричных лазейках?
Да, но не слишком сильно, насколько я понимаю, это изменяет базовое пространство-время, добавляя тета-измерения. Если пространство изменить менее радикально, не изменится ли группа изометрий и не обязательно ли будет применяться теорема Коулмана-Мандулы? На самом деле тип обобщения, который я имею в виду, должен каким-то образом абстрагироваться от основного пространства-времени.
Уважаемый @Sebby, я написал это уже раза 3 в ответе, но общая теория относительности (в массе) просто не эквивалентна какой-либо теории типа Янга-Миллса в той же массе. У вас может быть AdS/CFT-соответствие и т. д., в котором гравитация в объеме эквивалентна — посредством очень нетривиальной эквивалентности — калибровочной теории в пространстве более низкой размерности (граница). Но симметрия Янга-Миллса действует на точки индивидуально, в то время как диффеоморфизмы смешивают точки друг с другом. Это просто качественно разные симметрии. Это также отражает тот факт, что гравитон имеет спин 2 и калибровочные бозоны 1.
Теория Янга-Миллса означает , что калибровочное поле является полем со спином 1. Если это поле со спином два, как метрический тензор, это просто не называется теорией Янга-Миллса. Гравитация — это «обобщение» калибровочной теории, но слово «обобщение» действительно необходимо и означает, что гравитация не подчиняется исходным правилам и условиям обычной, необобщенной теории Янга-Миллса. Честно говоря, я искренне надеюсь, что мне не придется в 5-й раз писать этот простой факт - вы, похоже, совсем не слушаете.
Извините, что так настаиваю, но это было скорее вопросом надежды, чем чего-либо еще.

Наивная квантовая гравитация

Себби

Ответы (1)

Любош Мотл

Себби

твистор59

Себби

Любош Мотл

Любош Мотл

Себби

Квантование гравитационного поля: условия квантования

Необходимо ли квантование гравитации для квантовой теории гравитации? Часть II

Как гравитоны передают гравитацию скрытым телам?

Законы гравитации для вселенной, состоящей всего из двух объектов?

Является ли гравитация просто электромагнитным притяжением?

Инстантоны и невозмущающие амплитуды в гравитации

Гравитация как калибровочная теория

Коллапс волновой функции и гравитация

Современная трактовка эффективной КТП в искривленном пространстве-времени

Физическое происхождение поля инфлатона?