Наивный вопрос о пространственно-временных сингулярностях

Насколько я понимаю, такое ветвление может происходить только для функций сложных аргументов. Однако метрический тензор является функцией четырех действительных координат, поэтому такого ветвления не произойдет, даже если в одной из компонент метрического тензора появится корень или бревно.

Все еще интересно подумать о том, могут ли в метрическом тензоре появляться такие «неприятные» функции, как логарифм. Дело, однако, в том, что любые функции легко ввести заменой координат. Но зачем усложнять жизнь, чем она уже есть?

Вот список примеров для метрик GR: https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity)#Examples Как видите, полюса если и есть, то они имеют вид$\frac{1}{r^n}$(как в метрике Шварцшильда) или, в худшем случае,$\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$(в метрике FLRW), где$r>0$.

Простейшим решением общей теории относительности (кроме тривиальной метрики Минковского, которая является решением при отсутствии гравитации) является метрика Шварцшильда. Это метрика, когда есть изолированная точка массы$M$присутствует в истоке. Это дано

${\displaystyle ds^2=-c^{2}\,{d\tau }^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}{\displaystyle \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}}$

Где$r_s=\frac{2GM}{c^2}$.

Здесь вы можете увидеть, что на$r=r_s$этот показатель не определен. Но это только из-за выбранных нами координат. Это называется координатной сингулярностью , и мы можем устранить ее, используя другие координаты. Примером этого являются полярные координаты. Здесь начало координат является сингулярностью, но мы можем удалить это, используя декартовы координаты. Координаты Эддингтона – Финкельштейна являются примером системы координат, в которой$r=r_s$не является особенностью.

Но начало другое, это сингулярность во всех возможных системах координат. Один простой способ убедиться в этом — вычислить скаляр Кречмана . Для метрики Шварцшильда скаляр Кречмана после вычисления даст$\frac{48G^2M^2}{r^6}$, которая не конечна в начале координат. В отличие от метрики$g_{\mu\nu}$, скаляры не зависят от системы координат. Бесконечные скаляры физически невозможны.

Также ветвление в комплексном анализе обусловлено многозначностью некоторых комплексных функций. В ОТО мы работаем только с реальными значениями. Так что такого не произойдет. Сингулярности пространства-времени подобны полюсам в реальном анализе.