Равновесие веревки, висящей в пространстве-времени Шварцшильда

Обновление: Trimok и MBN помогли мне решить большую часть моей путаницы. Тем не менее, есть еще дополнительный термин − ( 2 / р ) Т в конечном результате. Браун не пишет этот термин, и он кажется физически неправильным.

Обновление № 2: возможное решение оставшейся проблемы. См. комментарий к ответу MBN.

Предположим, у нас есть веревка, которая статически висит в пространстве-времени Шварцшильда. имеет постоянную массу на единицу длины мю , и мы хотим найти переменное напряжение Т . Браун 2012 дает несколько более общую трактовку этого вопроса, которую мне трудно понять. Резюмируя уравнения Брауна (3)-(5) и применяя их к этой ситуации, я имею в координатах Шварцшильда ( т , р , θ , ф ) , с подписью − + + + , метрика

г с 2 "=" − ф 2 г т 2 + ф − 2 г р 2 + . . . ,  где ф "=" ( 1 − 2 М / р ) 1 / 2

и тензор энергии-импульса

Т ν κ "=" ( 4 π р 2 ) − 1 диаг ⁡ ( − мю , − Т , 0 , 0 ) .

Он говорит, что уравнение равновесия:

∇ κ Т р κ "=" 0

Затем он говорит, что если вы прокрутите математику, уравнение равновесия станет чем-то, что в моем частном случае эквивалентно

Т ′ + ( ф ′ / ф ) ( Т − мю ) "=" 0 ,

где простые числа являются производными по р . Это имеет смысл, потому что в плоском пространстве-времени ф ′ "=" 0 , и Т является константой. Ньютоновский предел также имеет смысл, потому что ф ′ гравитационное поле, а Т − мю → − мю .

Здесь я не понимаю как минимум двух вещей.

Во-первых, не является ли его уравнение равновесия просто утверждением о сохранении энергии-импульса, которое было бы верным независимо от того, находится ли веревка в равновесии?

Во-вторых, я не понимаю, как он получает окончательное дифференциальное уравнение для Т . Поскольку тензор энергии-импульса верхнего и нижнего индекса является диагональным, единственным членом уравнения равновесия является ∇ р Т р р "=" 0 , что значит мю не может войти. Кроме того, если я выпишу ковариантную производную в терминах частной производной и символов Кристоффеля (релевантным является Г р р р "=" − м / р ( р − 2 м ) ), два члена символа Кристоффеля сокращаются, поэтому я получаю

∇ р Т р р "=" ∂ р Т р р + Г р р р Т р р − Г р р р Т р р ,

который не включает ф и, очевидно, неправильно, если я устанавливаю его равным 0.

Что я здесь неправильно понимаю?

Рекомендации

Браун, «Прочность на растяжение и добыча черных дыр», http://arxiv.org/abs/1207.3342 .

Браун использует не черную дыру Шварцшильда, а общее статическое сферически-симметричное пространство-время. ( 3 ) , который имеет в качестве источника общее статическое сферически-симметричное распределение вещества, заданное тензором энергии-импульса ( 4 ) . Так х ( р ) и ф ( р ) зависит от Т (и мю ), но, да, это «уравнение равновесия» есть не что иное, как обычное «сохранение» тензора энергии-импульса.
@Trimok: Он делает лечение, которое становится Шварцшильдом, когда х "=" ф , что является частным случаем, который я представил выше.
Если это так, то Т ν κ не может быть источником гравитационного поля.
@Trimok: Верно, Т ν κ здесь речь идет о тензоре энергии-импульса веревки, а не гравитирующего тела.
Связано: physics.stackexchange.com/q/104474/2451 и ссылки в нем.

Ответы (1)

От этого у тебя ∇ р Т р р "=" Т ′ , но есть и

∇ т Т р т "=" ∂ ∂ т Т р т + Г α т т Т р α − Г р т α Т α т "=" Г р т т Т р р − Г р т т Т т т "=" − Г р т т ( Т − мю ) .

Так

∇ к Т р к "=" ∇ р Т р р + ∇ т Т р т "=" − Т ′ − ( ф ′ / ф ) ( Т − мю ) .

Это должен быть комментарий, но символы не работают.

Я предполагаю, что это называется уравнением равновесия, потому что T — это энергия напряжения веревки, а не энергия напряжения, влияющая на геометрию пространства-времени. Фон зафиксирован и на нем живет веревка.

Верно! Исправленный.
Я думаю, есть и другая проблема: мы забываем р − 2 термин в определении тензора энергии-импульса, и это проблема вывода ∂ р Т р р
Ах я вижу. я пренебрегал ∇ т Т р т , с Т р т "=" 0 . Мне не приходило в голову, что ковариантная производная чего-то, что тождественно обращается в нуль, может быть отличной от нуля! Я думаю, что расчет действительно дает условие статического равновесия, потому что тензор энергии-импульса считается диагональным, поэтому потока энергии-импульса нет.
Обозначения могут вводить в заблуждение, это действительно так. ( ∇ я Т ) к Дж . Но Тримок указал, что я пропустил р − 2 . Я думал, что это просто константы спереди.
Таким образом, принимая во внимание поправку МБН о дополнительных ковариантных членах производной и поправку Тримока о р − 2 факторы, я получаю следующее: 0 "=" − ( 2 / р ) Т + Т ′ + ( ф ′ / ф ) ( Т − мю ) . Это отличается от результата Брауна тем, что − ( 2 / р ) Т термин, и я думаю, что этот термин явно физически неверен, так как в ньютоновском пределе я получаю − ( 2 / р ) Т + Т ′ − мю г "=" 0 . Должен быть Т ′ − мю г "=" 0 , без первого члена.
Я думаю, что могу понять последний вопрос. Вариант расчета есть в приложении Fouxon, arxiv.org/abs/0710.1429 . Волокна веревки считаются радиальными, поэтому это конус, а не цилиндр. Фактическое напряжение, найденное путем интегрирования по поперечному сечению конуса, не равно Т но у "=" Т р 2 ф . С заменой переменных я почти получаю − ( 2 / р ) Т срок уйти, разве что я все еще путаюсь в знаках.
С обозначениями Фуксона диагональ Т ν κ без р − 2 условия, мы будем иметь: ∇ к Т р к "=" С ′ + ( ф ′ / ф ) ( С + р ) "=" 0.
@Trimok: Да, я думаю, что здесь происходит то, что Браун сделал ошибку в своей статье. Если мы определим р "=" мю / ( 4 π р 2 ) и С "=" Т / ( 4 π р 2 ) , то тензор энергии-импульса Брауна правильно записывается в терминах мю и Т , но его окончательное дифференциальное уравнение тогда действительно должно быть дифференциальным уравнением для р и С .
@Trimok: Ага! Я наконец понимаю, что происходит с − ( 2 / р ) Т срок. Я не только не учел ∇ т Т р т термин, но никто из нас не догадывался, что были и термины ∇ ф Т р ф и ∇ θ Т р θ . Они заканчиваются отменой − ( 2 / р ) Т .
@BenCrowell: Да, ты прав. Я тоже это проверяю.
@БенКроуэлл: :)
@BenCrowell: Может быть, вам следует отредактировать мой ответ или, лучше, добавить его к своему вопросу, чтобы он не зависел от комментариев, которые не всегда читают.
Равновесие веревки, висящей в пространстве-времени Шварцшильда
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v