Нарушает ли уравнение теплопроводности причинно-следственную связь?

Я столкнулся с идеей, что, помимо простого написания дифференциальных уравнений в частных производных в ковариантной форме, они должны быть гиперболическими со всеми характеристическими скоростями меньше скорости света. Прямое обобщение уравнений для диссипативной жидкости на релятивистский случай якобы сталкивается с трудностями из-за наличия уравнения теплопроводности:

∂ Т ∂ т знак равно κ ∇ 2 Т .

В реальной релятивистской теории это обобщается до чего-то ковариантного, например

ты мю ∇ мю Т знак равно κ ( грамм мю ν − ты мю ты ν ) ∇ мю ∇ ν Т ,

куда ты является времениподобным вектором (это только схематично, есть и другие термины). Но дело в том, что у этой теории все еще есть проблема, потому что это параболическое уравнение.

Мне интересно, есть ли способ увидеть что-то явно патологическое, например, сверхсветовые сигналы в уравнении теплопроводности? Это немного непонятно для меня, так как уравнение не похоже на волну. Если предположить, что вы не можете посылать сигналы быстрее света, в чем проблема с негиперболическими уравнениями?

Насколько я читал, это патология. Вот почему люди не используют параболические уравнения для релятивистских сценариев, они склонны использовать скорректированные гиперболические уравнения, в случае уравнения теплопроводности это будет что-то вроде уравнения Максвелла-Кантанео. Я могу оставить несколько ссылок позже, если вы хотите
Спасибо вам обоим за ссылки. Да, этот вопрос был в контексте теории Эккарта (и Ландау-Лифшица), обсуждавшейся в этой статье.
@octonion, вот ссылка, которую я изучал arxiv.org/abs/0902.3663

Ответы (1)

Нижеследующее, безусловно, не является исчерпывающим ответом на все ваши вопросы. Это ответ на вопрос

есть ли способ увидеть что-то явно патологическое, например, сверхсветовые сигналы в уравнении теплопроводности?

Я бы сказал, что да, есть.

Общее решение задачи о начальных значениях Т ( Икс , 0 ) знак равно Т 0 ( Икс ) для уравнения теплопроводности на действительной прямой есть

Т ( Икс , т ) знак равно ∫ − ∞ ∞ г Икс ′ Т 0 ( Икс ′ ) грамм ( Икс − Икс ′ , т ) .
куда грамм является функцией Грина для уравнения теплопроводности и явно определяется выражением
грамм ( Икс , т ) знак равно е − Икс 2 / ( 4 κ т ) π ( 4 κ т ) .
Обратите внимание, что если Т 0 ( Икс ) знак равно дельта ( Икс ) , а именно, если бы кто-то должен был обеспечить локализованный единичный импульс тепла в начале в т знак равно 0 , то для всех последующих моментов времени распределение температуры будет равно функции Грина (поэтому ее часто называют импульсной характеристикой и/или функцией источника):
Т ( Икс , т ) знак равно е − Икс 2 / ( 4 κ т ) π ( 4 κ т ) , т > 0.
Но это гауссово распределение по вещественной прямой, отличное от нуля везде для всех т > 0 . Другими словами, если вы нагреете точку на реальной прямой за время т знак равно 0 , то для любого т > 0 , какой бы малой она ни была, вся линия будет иметь некоторую ненулевую температуру, даже если она начиналась с нулевой температуры везде, кроме начала координат.

Такое поведение позволяет передавать сверхсветовые сигналы. Чтобы понять, как это происходит, заметьте, что если у вас есть длинный стержень отсюда до Проксимы Центавра, сделанный из материала, который точно подчиняется уравнению теплоты, и если вы хотите предупредить своего союзника, находящегося рядом с Проксимой Центавра, о надвигающейся атаке инопланетян, вы просто нужно держать стержень холодным до того момента, пока вы не услышите информацию о нападении. В этот момент вы можете просто нагреть часть стержня рядом с вами, и она мгновенно оценит часть стержня рядом с ней как более горячую. Затем она может немедленно начать подготовку к защите своей станции.

Ваш пример работает? Я думаю, что получение необходимой точности может привести к проблемам с принципом неопределенности.
@Taemyr, это мысленный эксперимент, необходимый для демонстрации принципа, а не рецепт эксперимента.
Я что-то упустил, или этот ответ рассматривает только классическое уравнение теплопроводности, а не ковариантный, который хочет ОП?
@KyleKanos В вопросе (v3) ОП пишет: «... из-за наличия уравнения теплопроводности :
Т т знак равно κ ∇ 2 Т .
Позже, в вопросе, который я цитирую в своем ответе, ОП снова использует термин «уравнение теплоты», не подчеркивая, что это не то, на что он прямо ссылается ранее. Кроме того, основываясь на его другом языке, мне также показалось, что ОП спрашивал в целом о негиперболических уравнениях, используя уравнения, которые он записал в качестве примеров. Наконец, я включил заявление об отказе от ответственности, поскольку знал, что ОП, по крайней мере, задает больше, чем вопрос, на который я отвечаю.
Хорошо, просто убедись, что это не я.
@KyleKanos Возможно, я совершенно неправ, и мой ответ бесполезен для ОП. Уточнение было бы полезно.
@joshphysics Этот ответ действительно очень полезен. Классическое уравнение теплопроводности является частным случаем ковариантного уравнения, если мы находимся в Минковском и ты точки в направлении времени. Что меня смутило, так это то, что в т знак равно 0 , ∇ 2 Т знак равно 0 вдали от импульса так Т ˙ знак равно 0 и казалось, что мы не увидим сигнал сразу. Но, конечно, эта явная функция Грина работает и Т ˙ → 0 в качестве т → 0 .
Нарушает ли уравнение теплопроводности причинно-следственную связь?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v